Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{a^3}{b^2+3}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 17-04-2016 - 19:26

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#2
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự. Cộng vế theo vế các BĐT ta được :

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Bạn này gõ tiêu đề là 3/4 mà đề lại ghi 3/2  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 17-04-2016 - 20:02

                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#3
Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Áp dụng Cosi: $\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự: $P=\sum \frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}$

$\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{4}$

Ta có: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3$

P$\geq \frac{3}{4}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh