Chủ đề này có 2 trả lời

[tienduc]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

[Nhok Tung]

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\sum \frac{b}{a+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{3}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}$

Đặt $t=\sum \frac{1}{^{\sqrt{a}}}\geq 3$

Ta chứng minh $\frac{t^{2}}{3}-\frac{t}{2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$ (TRUE)

BĐT đc chứng minh

[PlanBbyFESN]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

 

AM-GM:

 

$\frac{1}{b}-\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{b^{2}}{b^{3}+ab}\leq \frac{b^{2}}{2b^{2}\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}\leq \frac{\frac{1}{a}+1}{4}=\frac{1}{4a}+\frac{1}{4}$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Rightarrow \frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}$