Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 4/2016: Mở rộng bài toán hình học Serbia National Olympiad 2016 ngày 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 04-04-2016 - 03:53

Như vậy lời giải bài Tuần 5 tháng 3 đã được thầy Hùng đưa ra tại Tuần 1 tháng 4 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác đó. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$. $D,K$ là hình chiếu của $P,R$ lên $BC$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A,D,K$ lần lượt vuông góc với $BC,QK, AP$ đồng quy.

 

Screen Shot 2016-04-04 at 6.53.13 AM.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 04-04-2016 - 03:54

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 04-04-2016 - 11:33

em / mình xin được trình bày lời giải cho bài tuần này ( cách trục đẳng phương) em xin được upload bằng ảnh , em sẽ cố mượn máy và đánh latex mong các anh thông cảm ạ

Hình gửi kèm

  • WP_20160404_006.jpg
  • WP_20160404_003.jpg


#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 408 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-04-2016 - 13:36

Lời giải. Để giải quyết bài toán ta cần có bổ đề sau:Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O. P,Q$ là hai điểm liên hợp đẳng giác. $AP,AQ$ lần lượt cắt $(O)$ tại $K,L.AK$ cắt $BC$ tại $N$. Khi đó $\frac {NK}{QL}=\frac {NP}{QA}$
Chứng minh.

Quay lại bài toán. $KQ$ cắt $AX$ tại $L$. Áp dụng bổ đề dễ suy ra $APDL$ là hình bình hành $\Rightarrow AP//DL$.
Theo tính chất đường cao ta suy ra điều phải chứng minh.$\blacksquare$

 

Nhận xét: Như thầy Hùng nói, mình lên ý tưởng cho bài này từ bài Serbia National Olympiad ngày 2 mà mình đã giải ở đây

Bổ đề mình dùng ở đây cũng là mở rộng của bổ đề bài trước! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-04-2016 - 18:37


#4 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 04-04-2016 - 15:11

Đáp án của thầy cũng dựa trên bổ đề đó :)!



#5 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 04-04-2016 - 16:00

Bài này là mình tổng quát bài 4 của đề Serbia năm 2016, theo đánh giá chủ quan 2 đề hình Serbia 2016 rất đẹp và chất :)!

 

http://www.artofprob...7_easy_geometry



#6 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 04-04-2016 - 19:57

nhưng lời giải của em không dùng bổ đề như của bảo
bổ đề của em là bổ đề đẳng giác mà anh Phan Anh Quân đã chứng minh như trong bài tuần 3 tháng 11 của thầy kết hợp với trục đẳng phương ạ

#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 05-04-2016 - 00:14

Xin lỗi thầy chưa đọc kỹ lời giải của Hoàng, chính xác là đáp án của thầy đã có dựa trên bổ đề cm bởi Phan Anh Quân, bổ đề này khác của Bảo!



#8 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 08-04-2016 - 22:19

Bài toán này có 1 hệ quả như sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $P,Q$ đẳng giác trong tam giác. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$. $K,D$ là hình chiếu của $R,P$ lên $BC$. $QK$ cắt $AH$ tại $L$ thì $AL=PD$.

 

Hệ quả này cũng chính là mở rộng của bài toán khá quen thuộc sau

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I,r)$ và đường cao $AH$, $M$ là trung điểm $BC$. $MI$ cắt $AH$ tại $N$ thì $AN=r$.

 

Bài toán đẳng giác này cũng có nhiều hệ khác quả thú vị, các bạn hãy thử tìm hiểu.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh