Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 5 tháng 3/2016: Một mở rộng của bài thi Vietnam TST 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Lời giải bài cũ, tuần 5 tháng 3.

 

Bài 32. Cho tam giác $ABC$ với góc $A$ tù và đường cao $AH$. Các điểm $E,F$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $\angle EAB=\angle FAC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là đối xứng của $E,F$ qua $H$. Lấy $K$ trên trung trực $BP$ sao cho $AK\perp AF$. Lấy $L$ trên trung trực $CQ$ sao cho $AL\perp AE$. Lấy $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $KM=KP$ và $LN=LQ$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

 

 

Hình gửi kèm

  • Figure3737.png


#2
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Lời giải bài cũ, tuần 5 tháng 3.

 

Bài 32. Cho tam giác $ABC$ với góc $A$ tù và đường cao $AH$. Các điểm $E,F$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $\angle EAB=\angle FAC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là đối xứng của $E,F$ qua $H$. Lấy $K$ trên trung trực $BP$ sao cho $AK\perp AF$. Lấy $L$ trên trung trực $CQ$ sao cho $AL\perp AE$. Lấy $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $KM=KP$ và $LN=LQ$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài toán được thầy mở rộng từ bài $Vietnam TST 2016$ ngày 2 ý b. Mọi người có thể xem tại đây:

 https://www.dropbox....ay1295.pdf?dl=0

Lời giải. Trước tiên ta chứng minh: $\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}(*)$

Thật vậy gọi $Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $K, L$ lên $BC$ ta có: $AK.AH=HY.AF=BE.AF/2, AL.AH=HZ.AE=CF.AE/2$

$\Rightarrow \frac {AK}{AL}=\frac {BE.AF}{CF.AE}$

$(*) \Leftrightarrow \frac {BE.AF}{CF.AE}=\frac {AB}{AC}$ (đúng do $\angle EAB=\angle FAC$)

Vậy $\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}$

Post 25.png

Mặt khác do $AE,AF$ đẳng giác trong $\angle A$ nên $\angle KAB=\angle LAC$

$\Rightarrow \triangle KAB\sim \triangle LAC(c.g.c)$

Do $M,N$ thuộc đoạn $AB,AC; E, F$ thuộc đoạn $BC$ nên ta suy ra

$\triangle KNA\sim \triangle LMA(c.g.c)$

$\Rightarrow \frac {AN}{AM}=\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}$

$\Rightarrow B,M,N,C$ đồng viên. $\blacksquare$

Post 26.png

P/s:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-03-2016 - 00:49


#3
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
Mình chưa hiểu tại sao bạn Bảo chứng minh được $\triangle KNA \sim \triangle LMA$, mới chỉ có một cặp cạnh tỉ lệ thôi.

#4
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Lời giải của thầy cơ bản là vậy nhưng đúng như chỗ Khánh nói, hai tam giác ấy đồng dạng nhưng ko phải trường hợp c.g.c, chỗ ấy phải vẽ hình phụ giải, thích rõ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 28-03-2016 - 08:49


#5
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
đó là do Bảo nhầm tỷ số rồi góc bằng nhau không phải là góc xen giữa

#6
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
Thưa thầy,anh khánh và mọi người theo em nghĩ chứng minh theo kĩ thuật này không được đúng lắm vì khi ta cần cm 2 tam giác đó đồng dạng thì ta cần góc hoặc tỉ số nhưng nếu có các vấn đề đó thì ta sẽ có dpcm rồi ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 28-03-2016 - 11:42


#7
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Không biết mọi người hiểu như thế nào nhưng chỗ đó em đã nhấn mạnh chữ đoạn rất kĩ vì đây là chi tiết quan trọng! Phép đồng dạng này hồi cấp 2 em đã thắc mắc rất nhiều và sau mấy năm em vẫn chưa tìm được lời giải thích chính đáng! Em lí luận như sau:

Trước tiên ta có $E,F$ thuộc đoạn $BC$.

$\Rightarrow \angle KAM, \angle LAN$ tù.

Ta lấy điểm $M$ bằng cách vẽ đường tròn tâm $K$, bán kính $KB$. Khi đó tồn tại một điểm $M'$ thuộc đường thẳng $AC$ khác $M$ sao cho $KM'=KM=KB$ 

Giả sử $M'$ thuộc đoạn $AC$ thì $\angle KM'M > \angle KAM$

$\Rightarrow \angle KM'M$ tù. Mặt khác $\angle AM'M$ là góc ở đáy của tam giác cân nên điều này không thể xảy ra! Vậy tồn tại duy nhất điểm $M$ thuộc đoạn $AC$ sao cho $KM=KB$.

Tương tự thì tồn tại duy nhất điểm $N$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $LN=LC$. Vậy nên để đảm bảo tính duy nhất thì hai tam giác này phải đồng dạng!

Chỗ này chứng minh như sau:

Post 27.png

Thân ái!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-03-2016 - 16:19


#8
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Thực sự là đề bài trong trường hợp này chưa được chặt chẽ vì lấy giao điểm của đường tròn và đoạn thẳng (ta biết rằng đường tròn luôn cắt đường thẳng tại hai điểm). Tuy nhiên vẫn có thể lý luận một cách "chặt chẽ" như sau

 

Gọi $U,V$ là hình chiếu của $K,L$ lên $AL,AK$ thì hai tam giác $AKU$ và $ALV$ đồng dạng g.g nên $AU/AV=AK/AL=AB/AC$. Từ đó hai tam giác vuông $BAU$ và $CAV$ đồng dạng ch.cgv. Ta dễ có đpcm.

 

Tuy nhiên thực chất cách làm trên phụ thuộc vị trí hình nó không hẳn là chặt chẽ!



#9
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Thầy có thể giải thích rõ chỗ $\triangle BAU\sim \triangle CAV$ rồi suy ra điều phải chứng minh như thế nào không ạ! Em hơi thắc mắc chỗ này! Với lại ở đó hai tam giác $BAU, CAV$ không phải tam giác vuông thầy ạ! Nếu nó vuông thì hóa ra $B,K,U; C,L,V$ thẳng hàng rồi!  :mellow: Tuy nhiên hai tam giác đó đồng dạng thì không vấn đề gì! :)



#10
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

ok thầy bị hơi nhầm khi dựng hình, phải là $U,V$ là hình chiếu của $K,L$ lên $AM,AN$. Khi đó $AKU$ và $ALV$ đồng dạng g.g dẫn tới $UKM$ và $VLN$ đồng dạng ch.cgv nhưng lời giải này chỉ dùng được khi $\angle KAM=\angle LAN>90^\circ$ :)!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh