Lời giải bài cũ, tuần 5 tháng 3.
Bài 32. Cho tam giác $ABC$ với góc $A$ tù và đường cao $AH$. Các điểm $E,F$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $\angle EAB=\angle FAC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là đối xứng của $E,F$ qua $H$. Lấy $K$ trên trung trực $BP$ sao cho $AK\perp AF$. Lấy $L$ trên trung trực $CQ$ sao cho $AL\perp AE$. Lấy $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $KM=KP$ và $LN=LQ$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán được thầy mở rộng từ bài $Vietnam TST 2016$ ngày 2 ý b. Mọi người có thể xem tại đây:
https://www.dropbox....ay1295.pdf?dl=0
Lời giải. Trước tiên ta chứng minh: $\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}(*)$
Thật vậy gọi $Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $K, L$ lên $BC$ ta có: $AK.AH=HY.AF=BE.AF/2, AL.AH=HZ.AE=CF.AE/2$
$\Rightarrow \frac {AK}{AL}=\frac {BE.AF}{CF.AE}$
$(*) \Leftrightarrow \frac {BE.AF}{CF.AE}=\frac {AB}{AC}$ (đúng do $\angle EAB=\angle FAC$)
Vậy $\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}$
Mặt khác do $AE,AF$ đẳng giác trong $\angle A$ nên $\angle KAB=\angle LAC$
$\Rightarrow \triangle KAB\sim \triangle LAC(c.g.c)$
Do $M,N$ thuộc đoạn $AB,AC; E, F$ thuộc đoạn $BC$ nên ta suy ra
$\triangle KNA\sim \triangle LMA(c.g.c)$
$\Rightarrow \frac {AN}{AM}=\frac {AK}{AL}=\frac {AB}{AC}$
$\Rightarrow B,M,N,C$ đồng viên. $\blacksquare$
P/s:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-03-2016 - 00:49