Lời giải:
Ta có $A, E, P, B$ đồng viên và $AP$ là phân giác $\widehat{BAE}$ nên $PE = PB$, tương tự $PC = PF$, mặt khác $\widehat{BPE} = 180^{\circ} - \widehat{BAC} = \widehat{CPF}$, nên $\widehat{BPF} = \widehat{CPE}$, do đó $\triangle BPF = \triangle EPC$, ta suy ra $BF = CE$. Do $R$ là tâm vị tự quay biến $FE \mapsto BC$ nên $R$ là điểm chính giữa của các cung $BAC, EAF$ hay $AR$ là phân giác ngoài của $\triangle ABC$.
Sử dụng định lí Ce-va dạng lượng giác cho $\triangle ABC$ với $AL, BL, CL$; $AK, BK, CK$ và $AP, BP, CP$ đồng quy:
$\dfrac{\sin{\widehat{LAB}}}{\sin{\widehat{LAC}}}. \dfrac{\sin{\widehat{LCA}}}{\sin{\widehat{LCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{LBC}}}{\sin{\widehat{LBA}}} = 1$; $\dfrac{\sin{\widehat{KAB}}}{\sin{\widehat{KAC}}}. \dfrac{\sin{\widehat{KCA}}}{\sin{\widehat{KCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{KBC}}}{\sin{\widehat{KBA}}} = 1$; $\dfrac{\sin{\widehat{PCB}}}{\sin{\widehat{PCA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{PAC}}}{\sin{\widehat{PAB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{PBA}}}{\sin{\widehat{PBC}}} = 1$. Nhân theo vế, rút gọn và chú ý $\widehat{LAB} = \widehat{KAC}$, $\widehat{LAC} = \widehat{KAB}$, $\widehat{PAB} = \widehat{PAC}$, ta có:
$\dfrac{\sin{\widehat{LBC}}}{\sin{\widehat{LBA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{KCA}}}{\sin{\widehat{KCB}}} = 1$. hay là $\dfrac{\sin{\widehat{JBC}}}{\sin{\widehat{JBA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{JCA}}}{\sin{\widehat{JCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{PAB}}}{\sin{\widehat{PAC}}} = 1$ hay $\overline{A, P, J}$.
Gọi $X$ là tâm $(AEF)$. $BP, CP$ thứ tự cắt $(PAC), (PAB)$ tại điểm thứ hai $Z, Y$. Ta có $B, C, Y, Z$ đồng viên. Ta có:
$BX^2 - CX^2 = \mathcal{P}_{B/(X)} - \mathcal{P}_{C/(X)} = \overline{BF}.\overline{BA} - \overline{CE}.\overline{CA} = \overline{BP}.\overline{BZ} - \overline{CP}.\overline{CY} = \overline{BP}(\overline{BP}+\overline{PZ}) - \overline{CP}(\overline{CP}+\overline{PY}) = PB^2 - PC^2$. Suy ra $PX \perp BC$, từ đó $\overline{P, N, X}$.
Ta có $T$ đối xứng $A$ qua $NX$, $S$ đối xứng $A$ qua $NJ$ $\Rightarrow$ $\widehat{PNJ} = \dfrac{1}{2}.\widehat{TNS} = \widehat{TNM}$, hay là $\widehat{ONM} = \widehat{PNT} = \widehat{PNA}$. Do đó $NA, NM$ đẳng giác trong góc $\widehat{PNJ}$. Gọi $l$ là đường thẳng đẳng giác với $ND$ trong góc $\widehat{PNJ}$. Ta có: $(NM, l, NO, NP) = (NA, ND, NP, NJ) = (ADPJ) = -1 = (ST, AM, AS, AT)$, do $NM \perp ST, NO \perp AS, NP \perp AT$ nên $l \perp AM$, do đó $\widehat{MAS} = (l, NO) = \widehat{PND} = \widehat{NDC} - 90^{\circ}$.
Chắc lời giải trên cũng giống bạn Bảo thôi, nhưng mình viết chi tiết hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 21-03-2016 - 18:20