Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 4 tháng 3/2016: Xoay quanh một vấn đề về hàng điểm điều hòa


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Lời giải của bài Tuần 3 tháng 3 của thầy Hùng đã được đưa tại Tuần 4 tháng 3 năm 2016 kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bai toán mới.

 

Bài 31. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. $P$ là điểm bất kì trên phân giác góc $\angle BAC$. $AP$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn $(PAB), (PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $B,C$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$. $AR$ cắt $PB,PC$ tại $K,L$. $KC$ cắt $LB$ tại $J$. $S$ đối xứng $A$ qua $OJ$. $T$ thuộc $(AEF)$ sao cho $AT \parallel BC$. $M$ trung điểm $ST$ và $N$ là tâm của $(AST)$. Chứng minh rằng $\angle NDC- \angle MAS=90^{\circ}$.

 

Screen Shot 2016-03-21 at 3.52.46 PM.png

 


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Lời giải của mình: :) Để giải quyết bài toán ta sử dụng hai bổ đề quen thuộc sau:

Bổ đề 1Nếu các đường thẳng $MA,MB,MC,MD$ theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $M'A',M'B',M'C',M'D'$ thì $M(AB,CD)=M'(A'B',C'D')$

Bổ đề 2. Với cùng dữ kiện bài toán thì ta có: $R$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A. \triangle APT$ cân tại $P$.

Hai bổ đề trên là các kết quả cơ bản, có thể thấy trong nhiều tài liệu.

Quay lại bài toán: Do $AP,AR$ lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của $\angle BAC$ nên $A(BC,PR)=-1$

$\Rightarrow LB, AP, KC$ đồng quy 

$\Rightarrow (AD,PJ)=-1$       (1)                                                                                                                                                                                  

 Do $\triangle APT$ cân nên $NP\bot AT, NM\bot TS$

$X$ là hình chiếu của $N$ lên $AM$. Theo bổ đề (1) ta suy ra $N(MX,JP)=-1$

Mặt khác theo (1) thì $N(AD,PJ)=-1$ nên $N(AD,PJ); N(MX,JP)$ là ảnh của nhau qua phép đối xứng với trục là phân giác $\angle PNJ$

$\Rightarrow \angle PND=\angle XNJ=\angle MAS$

Mà $NP\bot BC$ nên $\angle NDC - \angle MAS = 90^{\circ} \blacksquare$.

Bài toán được chứng minh!

Hình gửi kèm

  • Post 18.jpg
  • Post 19.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 21-03-2016 - 19:23


#3
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết

Lời giải: 

Ta có $A, E, P, B$ đồng viên và $AP$ là phân giác $\widehat{BAE}$ nên $PE = PB$, tương tự $PC = PF$, mặt khác $\widehat{BPE} = 180^{\circ} - \widehat{BAC} = \widehat{CPF}$, nên $\widehat{BPF} = \widehat{CPE}$, do đó $\triangle BPF = \triangle EPC$, ta suy ra $BF = CE$. Do $R$ là tâm vị tự quay biến $FE \mapsto BC$ nên $R$ là điểm chính giữa của các cung $BAC, EAF$ hay $AR$ là phân giác ngoài của $\triangle ABC$. 

Sử dụng định lí Ce-va dạng lượng giác cho $\triangle ABC$ với $AL, BL, CL$; $AK, BK, CK$ và $AP, BP, CP$ đồng quy:

 $\dfrac{\sin{\widehat{LAB}}}{\sin{\widehat{LAC}}}. \dfrac{\sin{\widehat{LCA}}}{\sin{\widehat{LCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{LBC}}}{\sin{\widehat{LBA}}} = 1$; $\dfrac{\sin{\widehat{KAB}}}{\sin{\widehat{KAC}}}. \dfrac{\sin{\widehat{KCA}}}{\sin{\widehat{KCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{KBC}}}{\sin{\widehat{KBA}}} = 1$; $\dfrac{\sin{\widehat{PCB}}}{\sin{\widehat{PCA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{PAC}}}{\sin{\widehat{PAB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{PBA}}}{\sin{\widehat{PBC}}} = 1$. Nhân theo vế, rút gọn và chú ý $\widehat{LAB} = \widehat{KAC}$, $\widehat{LAC} = \widehat{KAB}$, $\widehat{PAB} = \widehat{PAC}$, ta có:

$\dfrac{\sin{\widehat{LBC}}}{\sin{\widehat{LBA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{KCA}}}{\sin{\widehat{KCB}}} = 1$. hay là $\dfrac{\sin{\widehat{JBC}}}{\sin{\widehat{JBA}}}. \dfrac{\sin{\widehat{JCA}}}{\sin{\widehat{JCB}}}.\dfrac{\sin{\widehat{PAB}}}{\sin{\widehat{PAC}}} = 1$ hay $\overline{A, P, J}$.

Gọi $X$ là tâm $(AEF)$. $BP, CP$ thứ tự cắt $(PAC), (PAB)$ tại điểm thứ hai $Z, Y$. Ta có $B, C, Y, Z$ đồng viên. Ta có:

$BX^2 - CX^2 = \mathcal{P}_{B/(X)} - \mathcal{P}_{C/(X)} = \overline{BF}.\overline{BA} - \overline{CE}.\overline{CA} = \overline{BP}.\overline{BZ} - \overline{CP}.\overline{CY} = \overline{BP}(\overline{BP}+\overline{PZ}) - \overline{CP}(\overline{CP}+\overline{PY}) = PB^2 - PC^2$. Suy ra $PX \perp BC$, từ đó $\overline{P, N, X}$. 

Ta có $T$ đối xứng $A$ qua $NX$, $S$ đối xứng $A$ qua $NJ$ $\Rightarrow$ $\widehat{PNJ} = \dfrac{1}{2}.\widehat{TNS} = \widehat{TNM}$, hay là $\widehat{ONM} = \widehat{PNT} = \widehat{PNA}$. Do đó $NA, NM$ đẳng giác trong góc $\widehat{PNJ}$. Gọi $l$ là đường thẳng đẳng giác với $ND$ trong góc $\widehat{PNJ}$. Ta có: $(NM, l, NO, NP) = (NA, ND, NP, NJ) = (ADPJ) = -1 = (ST, AM, AS, AT)$, do $NM \perp ST, NO \perp AS, NP \perp AT$ nên $l \perp AM$, do đó $\widehat{MAS} = (l, NO) = \widehat{PND} = \widehat{NDC} - 90^{\circ}$. 

Chắc lời giải trên cũng giống bạn Bảo thôi, nhưng mình viết chi tiết hơn :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 21-03-2016 - 18:20


#4
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Lời giải của thầy về cơ bản là giống của Bảo tuy nhiên tam giác $PAT$ cân cần làm rõ, chỗ ấy quan trọng.



#5
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
Trong lời giải của em có chứng minh $PX$ vuông góc $AT$ với $X$ là tâm $(AEF)$

#6
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Cảm ơn anh Khánh đã đưa ra chứng minh dùm em, nhưng chỗ đó có một chứng minh khác thuần túy như sau:

Kẻ $FY,EX$ song song với $BC$.

$G,H$ lần lượt là giao của $(APB)(APC)$

với $BC$

Theo tính chất của tứ giác nội tiếp ta suy ra: $F,X,H; Y,E,G$ thẳng hàng và $X,E,G,H$ đồng viên $\Rightarrow XEGH$ là hình thang cân

Mặt khác $\triangle PGH$ cân tại $P$ nên $PG=PH$

$\Rightarrow PE=PX \Rightarrow X$ thuộc $(P, PE)$

$\Rightarrow $ trục đẳng phương của $(PPE)(AEF)$

song song với $BC$

Vậy ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$

Hình gửi kèm

  • Post 20.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-03-2016 - 16:37


#7
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Đúng rồi cái đó Khánh cm bằng phương tích giống đáp án của thầy, kỹ thuật đó đã từng xuất hiện tại đây http://analgeomatica...-4-thang-8.html



#8
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
Thưa thầy, thầy có ý tưởng gì về bài toán tổng quát không ạ, em vẽ hình mãi không ra

#9
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Ý Khánh tổng quát là sao, thầy chưa nghĩ tới việc tổng quát bài toán này, nếu em có hãy đưa lên cùng thảo luận, thực chất bài này đã là 1 bài toán tổng quát của 1 bài thầy đã post ở đây

 

http://artofproblems...1212609p6021712

 

Như thầy đã viết trên AoPS, thầy tạo ra bài này từ việc nghịch đảo bài toán thú vị sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I$. $EF$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $P$. Trung trực $AB,AC$ lần lượt cắt $BE,CF$ tại $U,V$. $UV$ cắt $BC$ tại $W$. $Q$ là trung điểm của $PW$. Chứng minh rằng $OQ\perp AI$.

 

Tuy nhiên cách giải của Telv Cohl đã đưa thầy đến việc tạo ra bài này, cách giải hoàn toàn tương tự, đáp án gốc bài này nên thuộc về Telv Cohl 

 

Mặt khác bài trên thầy tạo ra từ việc tham khảo bài TST Trung Quốc rất hay sau :D

 

http://artofproblems...e_perpendicular

 

Mình không thích Trung Quốc lắm nhưng không thể phủ nhận là đề TST của nước họ năm nay hay :P!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 23-03-2016 - 23:05
Sửa một số từ ngữ gây hiểu lầm





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh