Chủ đề này có 17 trả lời

[Nguyen Dinh Hoang]

Xin được viết đề bài mới qua bài viết của bạn Nguyen Dinh Hoang.

Lời giải bài Tuần 2 tháng 2 được thầy Hùng cho tại Tuần 3 tháng 2 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $K,L$ là tâm bàng tiếp góc $B,C$ của tam giác $ABC$. $ID$ cắt $CA,AB$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $NK$ cắt $ML$ tại $J$. Chứng minh rằng $IJ \perp AD$.

 

-------------------------

 

vậy là Thầy Hùng đã có bài toán mới em xin dc trinh bay loi giai cua bai toan do

gọi E F tt là giao cua CI  BI với AB, AC

gọi S, T tt là tiếp điểm của (I) với AB AC 

ST cắt BC tại J1 thì ta có (J1D,BC)=-1

ta có (AI,EC)=-1 mà N là giao của AB với MD nên N(KB,DC) =-1 suy ra N, K, J1 thẳng hàng 

CMtt ta có M, L, J1 thẳng hàng

Áp dụng d lí desargues cho 2 tg NKE và MLF với J1,B,C thẳng hàng ta thu dc EF ,KM,NL đồng quy tai J

vì vậy do (KI,EC)=-1 nên khi ta gọi L la  giao của IJ với AC thì (ML,FC) =-1 

vậy ta thu dc I(ML,FC) =-1 tức ta có I(JD,BC) =-1 nên IJ di qua J1 mặt khac ta có IJ1 vuông góc AD theo tính chất cơ bản 

vậy ta co dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 15-02-2016 - 02:38
Thêm đề bài

[baopbc]

Đợi anh Toàn post bài đã chứ!(P/s: Mà dùng Dersagues là gì cho mệt)

Lời giải và mở rộng của mình:

 

Hình gửi kèm

• 
• 
• 
• 

[Nguyen Dinh Hoang]

mình có cũng mở rộng đấy thành ra nếu cho đường MN di chuyển thì có J chạy tren dg cố định (DM khong cần phải vuông góc với BC)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 15-02-2016 - 00:12

[quanghung86]

Hàng điều hòa thường ta coi nó là công cụ giải hơn là dùng nó để phát biểu bài toán. Mở rộng kia sẽ có ý nghĩa hơn nếu các em có cách phát biểu đơn giản thuần túy hơn, nếu phát biểu dùng hàng điều hòa nó sẽ bị mất tự nhiên và dễ nhận ra được lời giải.

[quanghung86]

Sau đây là một mở rộng cho bài toán

 

Cho tam giác $ABC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. $PB,PC$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AP$ tại $K,L$. Đường thẳng qua $Q$ vuông góc $BC$ cắt $BC,CA,AB$ tại $D,M,N$. Gọi $NK$ cắt $ML$ tại $R$. Chứng minh rằng $PR\perp AD$.

[Nguyen Dinh Hoang]

em xin dc trình bày lời giải của bài tổng quát

gọi hình chiếu của P lên AB AC tt là R và H

Hình chiếu của P lên AP BC là O, E

ta có RHPE là tg nội tiếp có tâm là trung điểm PQ 

         ROPH n tiếp tâm là trung điểm AP 

áp dụng d lí tâm đẳng phương cho các dt (ROPH) (OPED) dt pedal của P và Q

ta có RH , dt qua P vuông góc AP và BC đồng quy tại F (đoạn này nó chỉ để dùng tính tỉ số)

gọi  PF cắt AB, AC, LK thứ tự tại Y,Z,X

gọi I là giao của LM vs NK 

thế thì bài toán chuyển về việc cm F I P thẳng hàng ta cm bằng pp trùng

goi I' là giao của LM với YZ 

áp dụng d lí menelaus cho tg AZX cát tuyến LMI ta thu dc 

$\frac{IY}{IZ}$ = $\frac{MA}{MZ}.\frac{LX}{LA}$

gọi S là giao của DM vs YZ

Cmtt ta có tỉ số $\frac{I''Y}{I''X} =\frac{AN}{NY}.\frac{KX}{AK}$  

trong đó I'' là giao của NK vs YZ 

lại áp dụng d lí menelaus cho tg AYZ cát tuyến SMN 

vì vậy ta chỉ cần quan tâm đến tỉ số $\frac{SY}{SZ}$

áp dụng d lí menelaus cho tg FYB cát tuyến NSP và FZC cát tuyến MSP 

gọi AP cat BC tại O'' thì P(XA,LK)= P(FO'',BC)

đến đây  tỉ số còn lại sẽ không còn khó khăn để cm 

xin lỗi mọi người vì cách này hơi dài một chút nhưng em nghĩ mãi mà không có cách thuần túy hình hoc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 16-02-2016 - 22:33

[Nguyen Dinh Hoang]

em nghĩ (ko biết có đúng hay ko vì em không có máy đêt thử) nếu cm theo cách này thì không cần đến dt qua A vuông góc AP mà đây chỉ là dt bất kì qua A

[quanghung86]

Lời giải của em nhầm ký hiệu nhiều quá, R có ở đề bài rồi, đoạn sau cần chỉnh sửa lại

 

"gọi hình chiếu của P lên AB AC tt là R và H

Hình chiếu của P lên AP BC là O, E

ta có RHPE là tg nội tiếp có tâm là trung điểm PQ"

[quanghung86]

Bài này cần giả thiết đường thẳng qua A vuông góc AP không thì kết quả không đúng, em xem kỹ lại đi,

[Nguyen Dinh Hoang]

Bài này cần giả thiết đường thẳng qua A vuông góc AP không thì kết quả không đúng, em xem kỹ lại đi,

dạ đúng là em bị nhầm ạ

[baopbc]

Có thể giải quyết bài toán một cách thuần túy thông qua hai bài toán sau:

Bài toán 1: (Đúng với mọi $P,Q$ bất kì nằm trong tam giác $ABC$) Cho tam giác $ABC$. $P$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC$. Một đường thằng bất kì vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AC,AB$ tại $M,N$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AP$ cắt $BP,CP$ tại $L,K$.$LN$ cắt $MK$ tại $J$. Khi đó $DL,AC,PJ$ đồng quy.

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$.$P,Q$ là hai điểm liên hợp đẳng giác.$D$ là chân đường cao kẻ từ $Q$ xuống $BC$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AP$ cắt $BP$ tại $L$. $DL$ cắt $AC$ tại $T$. Khi đó $PT$ vuông góc $AD$

P/s: Đây là hướng giải của mình, bài số 1 minh nghĩ có thể xử lí được bằng hàng điểm, còn bài 2 thì gọn hơn bài toán gốc rất nhiều. Mình chưa giải cụ thể nhứng cũng post lên để anh em tiếp tục suy nghĩ và cho ý kiến! Thân!

 

Hình gửi kèm

• 
• 

[baopbc]

Lời giải bài số 2: Phát biểu lại bài toán với $X,Y,Z$ là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. $D$ là giao của $(XYZ)$ với $BC$. Ta bỏ được điều kiện đẳng giác và điểm $C$. Phát biểu lại bài toán khác như sau:

 

Hình gửi kèm

• 
• 

[baopbc]

Bài toán số 1 đúng khi không có sự vuông góc!

P/s: Đến đây hướng đi quá rõ, dùng hàng điểm hoặc biến đổi đại số là được!

 

Hình gửi kèm

• 

[Nguyen Dinh Hoang]

bổ đề 1 của bảo mình nghĩ có thế dùng simson

[baopbc]

bổ đề 1 của bảo mình nghĩ có thế dùng simson

Nhưng nó cũng đúng trong điều kiện không vuông góc cơ mà!

Có thể dùng Simson để giải quyết trường hợp vuông góc nhưng trường hợp tổng quát thì cần phải xem lại!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 17-02-2016 - 20:09

[Namichan]

Nhưng nó cũng đúng trong điều kiện không vuông góc cơ mà!

Có thể dùng Simson để giải quyết trường hợp vuông góc nhưng trường hợp tổng quát thì cần phải xem lại!

bổ đề 1 có thể dúng menelaus nhưng hơi dài , chắc cũng có thể dùng trong th tổng quát mà baopbc đã đưa ra

[baopbc]

bổ đề 1 có thể dúng menelaus nhưng hơi dài , chắc cũng có thể dùng trong th tổng quát mà baopbc đã đưa ra

Có thể dùng hàng điểm để giải quyết gọn!

[quanghung86]

Ý tưởng của bạn Bảo rất tốt, thầy dựa vào ý tưởng đó, viết ra lời giải này, trông khá ngắn gọn.

Hình gửi kèm

•