Gọi $I$ là điểm chính giữa cung $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$ ($I$ khác phía $O$ đối với $BC$),$M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có : $AB|| IE(\angle BAC=\angle IEC=45^o, AC|| IF(\angle BAC=\angle BFI =45^o)$ nên $AEIF$ là hình bình hành
$\rightarrow \angle BAI=\angle AIE=\angle MAC$(vì $\bigtriangleup FIE\sim \bigtriangleup BAC$)
Do đó $AI$ là đối trung qua $A$ của tg $ABC$
Vì $\angle BOC=90^o$ nên $O$ thuộc $(BCEF)$, $O,I,M$ thẳng hàng. Gọi $N$ là giao điểm thứ 2 của $AI$ và $(BCEF)$
Tam giác $AOD$ cân tại $O$, $ON \perp AD$ nên $NA=ND$ $(1)$
Gọi $G,B$ lần lượt là giao của $AI$ với $BC$ và $EF$, $Q,R$ lần lượt là giao của $AM$ với $EF$ và đường thẳng qua $L$ vuông góc với $AM$.
Vì $MP$ là đường trung bình của tam giác $AOI$ nên $MP || AO$ nên $MP \perp EF \rightarrow LPRM $ nội tiếp
Lại có $AR.AM=AE.AC=AN.AI=AP.AD$ nên $RMDP$ nội tiếp
Do đó $LDMR$ nội tiếp $\rightarrow \angle LDN=\angle GMP$
Ta có $\frac{AN}{AR}=\frac{AM}{AI}=\frac{AQ}{AG}$ nên $AN.AG=AQ.AR$ nên $QNGR$ nội tiếp
Lại có $LGRQ$ nội tiếp nên $LNQG$ nội tiếp nên $\angle LND=\angle LQG$
Vậy $\angle LND=\angle LDN$ nên $LN=LD$ Suy ra $KD=\frac{ND}{2}$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $AK=3KD$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 06-01-2016 - 10:43