Chủ đề này có 8 trả lời

[Zaraki]

Như vậy đã có lời giải của thầy Hùng cho bài Tuần 3 tháng 11 tại Tuần 4 tháng 11 kèm theo đó là bài toán tổng quát của thầy:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $I$. $M$ là một điểm thuộc $AB$. $MI$ cắt $BC$ tại $N$. $P$ nằm trên phân giác ngoài góc $B$ sao cho $MP \parallel AI$. Chứng minh rằng $AI$ và $PN$ cắt nhau trên đường tròn $(O)$.

 

Bài toán mới Tuần 4 tháng 11:

 

Bài 13. Cho $A$ là một điểm cố định trên đường tròn $(O)$ và $d$ là một đường thẳng bất kì cố định. $P$ là một điểm di chuyển trên $(O)$. $AP$ cắt $d$ tại $M$. $N$ đối xứng với $P$ qua $OM$. $Q$ đối xứng với $N$ qua $d$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi. 

 

[Belphegor Varia]

 

Bài 13. Cho $A$ là một điểm cố định trên đường tròn $(O)$ và $d$ là một đường thẳng bất kì cố định. $P$ là một điểm di chuyển trên $(O)$. $AP$ cắt $d$ tại $M$. $N$ đối xứng với $P$ qua $OM$. $Q$ đối xứng với $N$ qua $d$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi. 

 

LỜI GIẢI (CHỈNH SỬA)

  

Kẻ đường kính $AE$, qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$ , đường thẳng này cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $X$, gọi $X'$ là đối xứng của $X$ qua $d$. Ta chứng minh $PQ$ đi qua $X'$ cố định.

Dễ thấy $M$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQN$.

Ta có $\angle X'QN=\angle XNQ=360^o-\angle QNP-\angle XNP=180^o + \angle XAP -(180^o-\frac{1}{2} \angle QMP)=180^o-\angle NMP-\frac{1}{2}\angle QMN+\frac{1}{2} \angle QMP=180^o-\frac{1}{2} \angle NMP=180^o-\angle NQP$

Hay $\angle X'QN+\angle NQP=180^o$

Vậy $PQ$ đi qua $X'$ cố định

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 17-11-2015 - 20:40

[canhhoang30011999]

Như vậy đã có lời giải của thầy Hùng cho bài Tuần 3 tháng 11 tại Tuần 4 tháng 11 kèm theo đó là bài toán tổng quát của thầy:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $I$. $M$ là một điểm thuộc $AB$. $MI$ cắt $BC$ tại $N$. $P$ nằm trên phân giác ngoài góc $B$ sao cho $MP \parallel AI$. Chứng minh rằng $AI$ và $PN$ cắt nhau trên đường tròn $(O)$.

 

Bài toán mới Tuần 4 tháng 11:

 

Bài 13. Cho $A$ là một điểm cố định trên đường tròn $(O)$ và $d$ là một đường thẳng bất kì cố định. $P$ là một điểm di chuyển trên $(O)$. $AP$ cắt $d$ tại $M$. $N$ đối xứng với $P$ qua $OM$. $Q$ đối xứng với $N$ qua $d$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi. 

 

Screen Shot 2015-11-16 at 6.50.48 am.png

qua $O$ kẻ $OE$ vuông góc $d$, $OF$ vuông góc $MA$, $AE$ cắt $PQ$ tại $X$

Gọi $Y,Z$ trung điểm $NQ,NP$

ta có $\widehat{MEF}=\widehat{MOF}=90^{\circ}-\widehat{OMF}=\widehat{MPN}= \widehat{MNP}=\widehat{ZYM}$

$\Rightarrow PQ\parallel YZ\parallel EF$

$\Rightarrow E$ trung điểm $AX$ nên $X$ cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 16-11-2015 - 23:35

[Emyeutiengviet]

Lời giải của mình:

 

Gọi $AW$ là đường kính của $(O)$

       $H$ là trung điểm $QN$

       $R = PQ \cap d$

       $I = MO \cap PN. \Longrightarrow \angle MIN = 90^{o}$

Kẻ $AT (T \in (O))$ sao cho $AT \parallel d$. Suy ra $T$ cố định.

Ta có tứ giác $HMIN$ nội tiếp nên $\angle RMN = \angle HMN =\angle HIN =\angle RPN$ (do $HI$ là đường trung bình của tam giác $QPN$)

Suy ra tứ giác $RMPN$ nội tiếp nên $\angle MRN =180^{o} -\angle MPN =\angle ATN$ do tứ giác $ATNP$ nội tiếp.

Và như thế $R,T,N$ thẳng hàng.

Gọi $L$ là giao điểm của $WT$ và $PQ$ thì $L$ chính là điểm đối xứng của $T$ qua $d$ vì $TW \parallel QN$ do cùng vuông góc với $d$ nên $L$ cố định. DPCM

[quanghung86]

Lời giải của Belphegor Varia có lẽ bị nhầm, chú ý $OA$ không song song $d$.

[huypham2811]

[huypham2811]

Hạ OH vuông góc d, I đ/x A qua H, J đ/x I qua d, T đ/x P qua d.

 

$(NP,NT)\equiv \frac{1}{2}(MP,MT)\equiv (AP,AJ) (mod \Pi )$  => J,N,T thẳng hàng => P,Q,I thẳng hàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 17-11-2015 - 20:29

[Belphegor Varia]

HIX  , đúng là em bị ngộ nhận, em sẽ sửa lại lời giải

[quanghung86]

Bài toán này mình tự tìm ra, khá đơn giản nhưng mình muốn giới thiệu ở đây vì nó sẽ là một bổ đề rất mạnh cho nhiều bài toán khác !