Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tuần 3 tháng 8/2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 20-08-2015 - 05:17

Đề của tuần này được đưa ra trong Tuần 3 tháng 8. Xin trích dẫn lại đề:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB,AIC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.

 

t3t8.png

 


 

Cuối cũng cũng nghĩ ra bài này.  :D

Vì $AEIB$ nội tiếp nên $\angle CEI= \angle ABI= \angle CBI$. Kết hợp với $\angle ECI= \angle ICB$ ta suy ra $EC=BC$. Chứng minh tương tự $BC=BF$.

Từ điều kiện trên, ta lược bỏ một số dữ liệu thừa của bài toán để được bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Lấy $E,F$ trên tia $CA,BA$ sao cho $EC=BF=BC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.

 

Điều kiện $EC=BF=BC$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:

 

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$. $M,N$ lần lượt là đối xứng của $B,C$ qua $IC,IB$. $X$ là tâm đường tròn nogaij tiếp $\triangle AMN$. Khi đó 

i) $MN \perp OI$.

ii) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$ bằng $OI$.

iii) $A,X,I,O$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Chứng minh bổ đề có thể tham khảo tại đây.

 

Điều kiện cần chứng minh $DA=DJ$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:

 

Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $I_a$. Đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $KI_a=KA$.

Chứng minh

 

Screen Shot 2015-08-20 at 8.14.42 am.png

Quay lại bài toán, từ $J$ kẻ đường vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $D'$. $X$ là tâm của $(AEF)$, $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$. Ta suy ra $T$ cung là điểm chính giữa cung $FE$ của $(X)$. Ta cũng có $TA \perp IA$.

Khi đó theo Bổ đề 1 iii) thì $$\angle D'JI = 90^{\circ}- \angle OIJ=90^{\circ}- \angle AXO =\angle XAT.$$

Theo Bổ đề 2 ta có $D'J=D'A$ nên $\angle D'AJ= \angle D'JA= \angle XAT$. Kết hợp với $\angle TAJ=90^{\circ}$ ta suy ra $\angle XAD'=90^{\circ}$ hay $D'A$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(X)$. Do đó $D \equiv D'$. Như vậy $DA=DJ$.

 

May mà có đọc được bổ đề 1 trong tài liệu này của thầy Hùng. :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 18-04-2016 - 22:24

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 20-08-2015 - 11:04

Cám ơn Toàn về sự quan tâm và lời giải rất hay :), hãyđón đọc số tuần sau nhé :)!



#3 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 20-08-2015 - 15:09

Cảm ơn bạn Zaraki và thầy Trần Quang Hùng

Hy vọng Zaraki tiếp tục cập nhật các bài của các tháng tiếp theo ở đây


NgọaLong

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 07-09-2015 - 16:28

Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $I_a$. Đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $KI_a=KA$.

Lang thang trên mạng thì kiếm được một chứng minh khác của thầy Hùng cho Bổ đề 2 tại đây:D  Mình sẽ post lời giải của thầy bên đó lên đây để anh em cùng nghiên cứu.  :namtay

 

Ở chứng minh của thầy Hùng, thầy xét thêm một bổ đề khác nữa, tạm gọi là bổ đề 3.

Bổ đề 3. Tam giác $ABC$ với đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $EF$ cắt trung trực của $AD$ tại $X$. Lúc đó $AX \perp OH$ khi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh

 

Áp dụng bổ đề 3, cho tam giác $I_aI_bI_c$ với đường cao $I_aA,I_bB,I_cC$ đồng quy tại $I$ với để ý rằng $OI$ chính là đường thẳng Euler của tam giác $I_aI_bI_c$. Ta suy ra trung trực $AI_a, BC$ và đường thẳng từ $I_a$ vuông góc $OI$ đồng quy tại một điểm, điểm đó chính là $K$. Hay nói cách khác, $KI_a=KA$. Bổ đề 2 được chứng minh. 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#5 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 07-09-2015 - 19:52

Cám ơn Toàn đã dẫn lại link, đúng là một lời giải hay lâu rồi thầy cũng quên mất :), qua link đó ta cũng thấy bài toán này và bài chọn đội tuyển Đài Loan 2014 có liên quan mật thiết với nhau. Xin được trích dẫn lại bài chọn đội Đài Loan 2014 như sau

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ và tâm ngoại tiếp $O$. $OI$ cắt tiếp tuyến của $(I)$ song song với $BC$ tại $M$. Cũng trên tiếp tuyến này lấy điểm $N$ sao cho $IN\perp IO$. Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Đây là một bài toán hay có nhiều nghĩa và có nhiều phát triển rất thú vị.



#6 Nguyen Tuan Phong

Nguyen Tuan Phong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 29-11-2019 - 17:10

Phiền thầy, cô cho em hỏi là ở chỗ chứng minh bổ đề 2. Đoạn chứng minh IN là phân giác trong em vẫn chưa rõ lắm ạ. Mong thầy, cô hỗ trợ em. Em cảm ơn ạ!



#7 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 06-12-2019 - 21:35

Phiền thầy, cô cho em hỏi là ở chỗ chứng minh bổ đề 2. Đoạn chứng minh IN là phân giác trong em vẫn chưa rõ lắm ạ. Mong thầy, cô hỗ trợ em. Em cảm ơn ạ!

Đó là tính chất của hàng điểm điều hòa thôi bạn. Chứng minh đơn giản như sau:

Gọi $M'$ là trung điểm $II_a$ thì do $(ADII_a)=-1 \Rightarrow M'A.M'D=M'I^2=M'I_{a}^2.$

Mặt khác $\widehat{INI_a}=90^0 \Rightarrow N \in (M',M'I) \Rightarrow M'N^2=M'I^2=M'A.M'D \Rightarrow M'N$ là tiếp tuyến của $(AND)$.

Do đó $\widehat{M'ND}= \widehat{M'AN} \Rightarrow \widehat{DNI}= \widehat{M'NI}- \widehat{M'ND}= \widehat{M'IN}- \widehat{M'AN}= \widehat{ANI}.$

Tức là $NA$ là phân giác $\widehat{AND},$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 06-12-2019 - 21:36

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh