Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 SuperLinh

SuperLinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Đã gửi 19-04-2016 - 11:08

Cho $a; b$ dương, $a+b=1$. CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$



#2 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 19-04-2016 - 11:24

_ Ta có : 

$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}=(a^{2}+b^{2})+(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+4$

_ Bằng biến đổi tương đương, ta có : 

$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}$

_ Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$, ta có : 

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}b^{2}}\geq 16\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\geq \frac{1}{2}.16=8$

_ Nên : 

$VT\geq \frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}=VP(đpcm)$

_ Dấu "=" khi : $a=b=\frac{1}{2}$

 

P/S : Bài này sẽ hay hơn nếu hỏi $min$ của biểu thức. :icon6: 


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-09-2020 - 15:43

Cách khác:

Ta chứng minh rằng 

$$\begin{equation}\left ( a+\frac{1}{a} \right )^2\geq -15a+\frac{55}{4}, \forall a > 0  \label{1} \end{equation}$$

Thật vậy, BĐT $\eqref{1}$ tương đương với

$$\begin{equation}\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2 + \left ( \frac{1}{a^2}+ 8a + 8a \right ) \geq 12, \forall a > 0 \label{2} \end{equation} $$

Áp dụng BĐT Cauchy cho ngoặc tròn thứ hai, ta chứng minh được $\eqref{2}$ đúng.

Lập BĐT tương tự cho $b$ rồi cộng lại, ta được điều phải chứng minh


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán, Tiếng Anh
    Không chơi game

Đã gửi 08-09-2020 - 16:05

Một cách nữa!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geqslant\frac{(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{2}\geqslant \frac{(a+b+\frac{4}{a+b})^2}{2}=\frac{25}{2}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 08-09-2020 - 16:05


#5 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-09-2020 - 18:15

Cho $a; b$ dương, $a+b=1$. CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$

 

Các bạn hăng say quá mình xin làm thêm một cách AM-GM khá mới mẻ$:$

 

Cần chứng minh$:$ $$\Big( {\dfrac {a}{a+b}}+{\dfrac {a+b}{a}} \Big) ^{2}+ \Big( {\dfrac {b}{a+b}}+{\dfrac {a+b}{b}} \Big) ^{2}\geqslant {\dfrac {25}{2}}.$$

 

Hay là $$2\,{a}^{6}+8\,{a}^{5}b-{a}^{4}{b}^{2}-18\,{a}^{3}{b}^{3}-{a}^{2}{b}^{4}+8\,a{b}^{5}+2\,{b}^{6} \geqslant 0$$

 

Đến đây phân tích thành nhân tử là xong$,$ nhưng vậy thì tầm thường quá$,$ ta dùng AM-GM$:$

 

$${a}^{4}{b}^{2}\leqslant \dfrac{4}{5}{a}^{5}b+\dfrac{1}{5}{b}^{6},$$

$$18{a}^{3}{b}^{3}\leqslant 8a{b}^{5}+{\dfrac {34}{5}}{a}^{5}b+\dfrac{6}{5}{b}^ {6}+2{a}^{6},$$

$${a}^{2}{b}^{4}\leqslant  \dfrac{2}{5}{a}^{5}b+\dfrac{3}{5}{b}^{6}.$$

 

Cộng lại là đpcm. 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh