Cho $a; b$ dương, $a+b=1$. CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$
CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$
#1
Đã gửi 19-04-2016 - 11:08
#2
Đã gửi 19-04-2016 - 11:24
_ Ta có :
$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}=(a^{2}+b^{2})+(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+4$
_ Bằng biến đổi tương đương, ta có :
$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}$
_ Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$, ta có :
$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}b^{2}}\geq 16\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\geq \frac{1}{2}.16=8$
_ Nên :
$VT\geq \frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}=VP(đpcm)$
_ Dấu "=" khi : $a=b=\frac{1}{2}$
P/S : Bài này sẽ hay hơn nếu hỏi $min$ của biểu thức.
- tpdtthltvp, SuperLinh, Element hero Neos và 6 người khác yêu thích
"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh