Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
SuperLinh

SuperLinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Cho $a; b$ dương, $a+b=1$. CMR $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}$



#2
tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết

_ Ta có : 

$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}=(a^{2}+b^{2})+(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+4$

_ Bằng biến đổi tương đương, ta có : 

$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}$

_ Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$, ta có : 

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}b^{2}}\geq 16\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\geq \frac{1}{2}.16=8$

_ Nên : 

$VT\geq \frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}=VP(đpcm)$

_ Dấu "=" khi : $a=b=\frac{1}{2}$

 

P/S : Bài này sẽ hay hơn nếu hỏi $min$ của biểu thức. :icon6: 


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh