Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm công thức tính tổng các bình phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
namathno7

namathno7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương



#2
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Ta có:

$2^2=1.2.3-2$

$3^2=2.3.4-3$

....

$n^2=(n-1)n(n+1)-n$

=>$1^2+2^2+...+n^2=1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+..+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$



#3
namathno7

namathno7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Ta thấy: $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$ là đa thức bậc 3

Giả sử: P(x)= $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$                ($a\neq 0$)

Ta cần tìm a, b, c, d

P(1)= a+b+c+d = 1$^{2}$

P(2)= 8a+4b+2c+d= $1^{2}+2^{2}$

P(3)= 27a+9b+3c+d= $1^{2}+2^{2}+3^{2}$

P(4)= 64a +16b+4c+d= $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}$

$\Rightarrow$ $a=\frac{1}{3}$; $b=\frac{1}{2}$; $c=\frac{1}{6}$; d=0

$\Rightarrow$ P(x)= $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$= $\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x$= $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$



#4
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Xét: $A=1.2+2.3+...+n(n+1)\Leftrightarrow 3A=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+n(n+1)\left [ (n+2)-(n-1) \right ]=n(n+1)(n+2)$

$\Rightarrow$$P=1^2+2^2+...+n^2=1(2-1)+2(3-1)+...+n\left [ (n+1)-1 \right ]=\left [ 1.2+2.3+...+n(n+1) \right ]-(1+2+...+n)$

$\Rightarrow P=A-(1+2+...+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khuyến mãi thêm cho bạn:

$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+...+n)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 24-04-2016 - 19:31

Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#5
santo3vong

santo3vong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Ta có:

$2^2=1.2.3-2$

$3^2=2.3.4-3$

....

$n^2=(n-1)n(n+1)-n$

=>$1^2+2^2+...+n^2=1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+..+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

bạn chỉnh lại phép tính 32 đi bạn ghi sai rồi đấy



#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Tổng quát :
Định lý
Định lý (không chứng minh)
$\sum_{k=1}^{n}k^m=\sum_{k=0}^{m}\binom {n+1}{k+1}S(m,k)k! \quad$ trong đó $S(m,k)$ là số Stirling loại 2

Áp dụng :
- Với $m=2:$
$1^2+2^2+....+n^2=\binom {n+1}{2}+2\binom {n+1}{3}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Với $m=3:$
$1^3+2^3+....+n^3=\binom {n+1}{2}+6\binom {n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}$
...vv....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-03-2023 - 21:11
$\LaTeX$

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh