Chủ đề này có 3 trả lời

[Gachdptrai12]

1)cho a,b,c là các số thực ko âm chứng minh 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$(bài ni dấu bằng khá trí )

2)cho a,b,c dương chứng minh

(a+b)²(b+c)²(c+a)²(ab+bc+ca)²$\geq$ 8a²b²c²(a²+b²+c²)²

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-04-2016 - 19:21

[Ankh]

1)cho a,b,c là các số thực ko âm chứng minh 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$(bài ni dấu bằng khá trí )

2)cho a,b,c dương chứng minh

(a+b)(b+c)(c+a)(ab+bc+ca)²$\geq$ 8a²b²c²(a²+b²+c²)²

 Câu 1 sử dụng đánh giá $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\geq \sqrt{\dfrac{a^2}{ab+bc+ca}}$ xong áp dụng AM-GM là ra

 Câu 2 thì sai đề rồi 

[Gachdptrai12]

 Câu 1 sử dụng đánh giá $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\geq \sqrt{\dfrac{a^2}{ab+bc+ca}}$ xong áp dụng AM-GM là ra

 Câu 2 thì sai đề rồi 

đã sửa 

[Nguyenhuyen_AG]

1)cho a,b,c là các số thực ko âm chứng minh 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$(bài ni dấu bằng khá trí )

 

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có\[\left ( \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} \right )^2\left [ \sum a^2(b+c) \right ] \geqslant (a+b+c)^3.\]Suy ra\[\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}}.\]Mặt khác vì\[\begin{aligned}a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) & \leqslant a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) + 2abc \\& = (a+b+c)(ab+bc+ca),\end{aligned}\]cho nên\[\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}.\]Ta cần chỉ ra\[\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}} +  \frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c} \geqslant 6.\]Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{b} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2},\,c=0$ cùng các hoán vị. Bài toán được chứng minh.

 

Bài còn lại xem ở đây: http://artofproblems...1227338p6179063
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 20-04-2016 - 23:03