chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-04-2016 - 06:19
chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-04-2016 - 06:19
Ta có BDT cần chứng minh tương đương:
$\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{3}{2}$
$\iff \frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}$
$\iff 2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge 3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$
$\iff 2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge \left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$
$\iff ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\ge ca^{2}+ab^{2}+bc^{2}$
$\iff \left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi $a\ge b\ge c>0$) => dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 20-04-2016 - 07:15
Lấy bất biến ứng vạn biến
Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$
$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$
$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$
Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 10:48
Ta có BDT cần chứng minh tương đương:
$\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{3}{2}$
$\iff \frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}$
$\iff 2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge 3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$
$\iff 2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge \left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$
$\iff ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\ge ca^{2}+ab^{2}+bc^{2}$
$\iff \left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi $a\ge b\ge c>0$) => dpcm
thử a=3,b=2,c=1 vào thì (a-b)(b-c)(c-a) <0 đó bạn
Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$
$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$
$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$
Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
bn nhầm sang cm BĐT Nesbitt 3 biến rồi !
bn nhầm sang cm BĐT Nesbitt 3 biến rồi !
Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 17:51
thử a=3,b=2,c=1 vào thì (a-b)(b-c)(c-a) <0 đó bạn
Chỗ đó là: (a-b)(c-b)(c-a) mà . Bạn nhầm rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 20-04-2016 - 18:06
Lấy bất biến ứng vạn biến
Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.
Nói thẳng ra là bạnCM sai làm j có tính chất trừ vế với vế của BĐT cùng chiềuNhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.
Chứng minh nesbitt có nhiều cách , cấp 2 thì có cách này :
$((a+b)+(b+c)+(c+a))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Rồi nhân ra biến đổi tương đương là được
'' Để Đạt Được Thành Tích Bạn Chưa Từng Đạt Được, Bạn Phải Làm Những Việc Mà Bạn Chưa Tứng Làm''
Chứng minh nesbitt có nhiều cách , cấp 2 thì có cách này :
$((a+b)+(b+c)+(c+a))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Rồi nhân ra biến đổi tương đương là được
cần gì phải nhân chỉ cần áp dụng bđt Schwarz là được thôi
Nói thẳng ra là bạnCM sai làm j có tính chất trừ vế với vế của BĐT cùng chiều
Vd 6>4;5>1 thì 6-5>4-1 sai!?
À mình nhầm thay B+C=3 vào BĐT luôn chứ ko có trừ.Ta có $2A+B+C\geq 2A+3 \geq 6$$\Rightarrow 2A\geq 6-3=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 21:58
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh