Chủ đề này có 10 trả lời

[tieumynu309]

chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{a+b}  + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-04-2016 - 06:19

[ngothithuynhan100620]

Ta có BDT cần chứng minh tương đương:

$\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{3}{2}$

$\iff \frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}$

$\iff 2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge 3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$

$\iff 2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge \left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$

$\iff ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\ge ca^{2}+ab^{2}+bc^{2}$

$\iff \left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi $a\ge b\ge c>0$) => dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 20-04-2016 - 07:15

[trieuduc0101]

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 10:48

[manhbbltvp]

Ta có BDT cần chứng minh tương đương:

$\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{3}{2}$

$\iff \frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}$

$\iff 2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge 3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$

$\iff 2\left(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\right)\ge \left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc$

$\iff ac^{2}+ba^{2}+cb^{2}\ge ca^{2}+ab^{2}+bc^{2}$

$\iff \left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi $a\ge b\ge c>0$) => dpcm

thử a=3,b=2,c=1 vào thì (a-b)(b-c)(c-a) <0 đó bạn 

[hoakute]

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

bn nhầm sang cm BĐT Nesbitt 3 biến rồi !

[trieuduc0101]

bn nhầm sang cm BĐT Nesbitt 3 biến rồi !

Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 17:51

[ngothithuynhan100620]

thử a=3,b=2,c=1 vào thì (a-b)(b-c)(c-a) <0 đó bạn 

Chỗ đó là: (a-b)(c-b)(c-a) mà . Bạn nhầm rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 20-04-2016 - 18:06

[kieutuanduc]

Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.

Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.

Nói thẳng ra là bạnCM sai làm j có tính chất trừ vế với vế của BĐT cùng chiều
Vd 6>4;5>1 thì 6-5>4-1 sai!?

[Phanbalong]

Chứng minh nesbitt có nhiều cách , cấp 2 thì có cách này : 
$((a+b)+(b+c)+(c+a))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Rồi nhân ra biến đổi tương đương là được 

[manhbbltvp]

Chứng minh nesbitt có nhiều cách , cấp 2 thì có cách này : 
$((a+b)+(b+c)+(c+a))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
Rồi nhân ra biến đổi tương đương là được 

cần gì phải nhân chỉ cần áp dụng bđt Schwarz là được thôi

[trieuduc0101]

Nói thẳng ra là bạnCM sai làm j có tính chất trừ vế với vế của BĐT cùng chiều
Vd 6>4;5>1 thì 6-5>4-1 sai!?

À mình nhầm thay B+C=3 vào BĐT luôn chứ ko có trừ.Ta có $2A+B+C\geq 2A+3 \geq 6$$\Rightarrow 2A\geq 6-3=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 20-04-2016 - 21:58