Chủ đề này có 21 trả lời

[duymy2001]

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$

[trieuduc0101]

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

[trieuduc0101]

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$

2/$M=\frac{x}{y-2}+2+\frac{12-3y}{x-6}$

Ta có  $3y-x=6\Rightarrow y-2=\frac{x}{3}$ và $x-6=3y-12$

Thay vào M ta được: $M=3+2-1=4$

[manhbbltvp]

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

sao A+C$\geq$3 được ?

[hoduchieu01]

đây là bất đẳng thức Nesbitt quen thuộc mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 20-04-2016 - 12:56

[hoduchieu01]

một số cách chứng minh

cách 1: 

Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt 

Biến đổi vế trái:

Thêm một bước biến đổi:

Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương)

Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:

 

[hoduchieu01]

cách 2 : là $\sum \frac{a}{b+c} =\sum \frac{a^{2}}{ab+bc} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2 \sum ab}\geq \frac{3\sum ab}{2\sum ab} = \frac{3}{2}$

[trieuduc0101]

sao A+C$\geq$3 được ?

$A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+b}{c+a}\geq 3 (Cauchy)$

[Minh Hieu Hoang]

sai hết rồi

[Minh Hieu Hoang]

đây ko phải nesbit nhé

[Minh Hieu Hoang]

cách 2 : là $\sum \frac{a}{b+c} =\sum \frac{a^{2}}{ab+bc} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2 \sum ab}\geq \frac{3\sum ab}{2\sum ab} = \frac{3}{2}$

nhìn lại đề đi bạn 

[Element hero Neos]

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Không được phép trừ hai bất đẳng thức cùng chiều

[manhbbltvp]

sai rồi bạn ơi  vì $a\geq b\geq c> 0 \Rightarrow b+c\leq a+c \Rightarrow \frac{b+c}{a+c}< 1$ cả cái bđt $\frac{a+c}{a+b}$ nữa

[hthang0030]

Sai hết rồi nhé mấy thím!Liên quan gì đến Nesbit ở đây!Chú ý điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ Dạng này chỉ có quy đồng thôi.Sau khi quy đồng,triệt tiêu các biến,ta được 1 bđt dạng hoán vị quen thuộc.$a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$ .Đây là lúc sử dụng đến dữ kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ BĐT tương đương $(a-b)(b-c)(c-a)\leq 0$ (Luôn đúng)  So easy       =))))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 21-04-2016 - 02:00

[O0NgocDuy0O]

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

Lời giải đúng:

$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$

 

Sai hết rồi nhé mấy thím!Liên quan gì đến Nesbit ở đây!Chú ý điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ Dạng này chỉ có quy đồng thôi.Sau khi quy đồng,triệt tiêu các biến,ta được 1 bđt dạng hoán vị quen thuộc.$a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$ .Đây là lúc sử dụng đến dữ kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ BĐT tương đương $(a-b)(b-c)(c-a)\leq 0$ (Luôn đúng)  So easy       =))))

Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-04-2016 - 11:15

[hthang0030]

Lời giải đúng:

$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$

 

Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn 

Mình thấy nó cho điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ nên mình nghĩ đến việc quy đồng để đưa về dạng bđt hoán vị.Thực ra thì quy đồng nó triệt tiêu hết biến nên cx nhẹ nhàng,cơ mà cách của bạn thì đúng là nhanh hơn thật

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 21-04-2016 - 21:18

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

bạn có thể tham khảo thêm ở đây
https://vi.wikipedia...ng_thức_Nesbitt

[the unknown]

Lời giải đúng:

$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$

 

Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn 

Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.

Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.

[O0NgocDuy0O]

Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.

Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.

Thứ nhất: Hướng đó đúng nhưng bạn làm rõ ra được không.

Thứ hai: Chứng minh như sau: 

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$

Từ giả thuyết nên Q.E.D.

bạn có thể tham khảo thêm ở đây
https://vi.wikipedia...ng_thức_Nesbitt

Cái này không phải nesbit, đọc kĩ đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 23-04-2016 - 16:06

[hthang0030]

Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.

Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.

Bạn có thể dễ dàng chứng minh bđt đó bằng biến đổi tương đương!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 23-04-2016 - 18:42