1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$
1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$
Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$
$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$
$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$
Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$
2/$M=\frac{x}{y-2}+2+\frac{12-3y}{x-6}$
Ta có $3y-x=6\Rightarrow y-2=\frac{x}{3}$ và $x-6=3y-12$
Thay vào M ta được: $M=3+2-1=4$
Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$
$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$
$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$
Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
sao A+C$\geq$3 được ?
đây là bất đẳng thức Nesbitt quen thuộc mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 20-04-2016 - 12:56
một số cách chứng minh
cách 1:
Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt
Biến đổi vế trái:
Thêm một bước biến đổi:
Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương)Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:
cách 2 : là $\sum \frac{a}{b+c} =\sum \frac{a^{2}}{ab+bc} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2 \sum ab}\geq \frac{3\sum ab}{2\sum ab} = \frac{3}{2}$
sao A+C$\geq$3 được ?
$A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+b}{c+a}\geq 3 (Cauchy)$
sai hết rồi
đây ko phải nesbit nhé
cách 2 : là $\sum \frac{a}{b+c} =\sum \frac{a^{2}}{ab+bc} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2 \sum ab}\geq \frac{3\sum ab}{2\sum ab} = \frac{3}{2}$
nhìn lại đề đi bạn
Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$
$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$
$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$
Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$
Không được phép trừ hai bất đẳng thức cùng chiều
sai rồi bạn ơi vì $a\geq b\geq c> 0 \Rightarrow b+c\leq a+c \Rightarrow \frac{b+c}{a+c}< 1$ cả cái bđt $\frac{a+c}{a+b}$ nữa
Sai hết rồi nhé mấy thím!Liên quan gì đến Nesbit ở đây!Chú ý điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ Dạng này chỉ có quy đồng thôi.Sau khi quy đồng,triệt tiêu các biến,ta được 1 bđt dạng hoán vị quen thuộc.$a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$ .Đây là lúc sử dụng đến dữ kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ BĐT tương đương $(a-b)(b-c)(c-a)\leq 0$ (Luôn đúng) So easy =))))
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 21-04-2016 - 02:00
1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
Lời giải đúng:
$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$
Sai hết rồi nhé mấy thím!Liên quan gì đến Nesbit ở đây!Chú ý điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ Dạng này chỉ có quy đồng thôi.Sau khi quy đồng,triệt tiêu các biến,ta được 1 bđt dạng hoán vị quen thuộc.$a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$ .Đây là lúc sử dụng đến dữ kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ BĐT tương đương $(a-b)(b-c)(c-a)\leq 0$ (Luôn đúng) So easy =))))
Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-04-2016 - 11:15
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Lời giải đúng:
$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$
Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn
Mình thấy nó cho điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ nên mình nghĩ đến việc quy đồng để đưa về dạng bđt hoán vị.Thực ra thì quy đồng nó triệt tiêu hết biến nên cx nhẹ nhàng,cơ mà cách của bạn thì đúng là nhanh hơn thật
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 21-04-2016 - 21:18
1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$
bạn có thể tham khảo thêm ở đây
https://vi.wikipedia...ng_thức_Nesbitt
Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.
Perfect numbers like perfect men, are very rare.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$
Lời giải đúng:
$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$
Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn
Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.
Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.
Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.
Thứ nhất: Hướng đó đúng nhưng bạn làm rõ ra được không.
Thứ hai: Chứng minh như sau:
$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$
Từ giả thuyết nên Q.E.D.
bạn có thể tham khảo thêm ở đây
https://vi.wikipedia...ng_thức_Nesbitt
Cái này không phải nesbit, đọc kĩ đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 23-04-2016 - 16:06
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Thứ nhất: hướng chứng minh của bạn hthang0030 đúng.
Thứ hai: bạn O0NgocDuy0O có thể chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ không ạ.
Bạn có thể dễ dàng chứng minh bđt đó bằng biến đổi tương đương!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 23-04-2016 - 18:42
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh