Chủ đề này có 2 trả lời

[I Love MC]

Giải phương trình trên tập $N$.  
$x^y.y^x=(x+y)^z$ (KZTMO) 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 20-04-2016 - 13:31

[baopbc]

Giải phương trình trên tập $N$.  
$x^y.y^x=(x+y)^z$ (KZTMO) 
 

Lời giải. Trước tiên ta chứng minh $z\leq x+y$

Thật vậy, giả sử ngược lại $z> x+y$. Do $x,y$ có tính hoán vị nên ta giả sử $x\leq y\Rightarrow x^y.y^x\leq y^{x+y}<(x+y)^z$ (Mâu thuẫn)

$\Rightarrow z\leq x+y$

Xét các khả năng sau:

Khả năng $1: x=y\Rightarrow x^x.x^x=(2x)^z$

$\Rightarrow x^{2x}=2^z.x^z\Rightarrow x^{2x-z}=2^z$

Đặt $2x-z=t\Rightarrow z=2x-t\Rightarrow x^t=2^{2x-t}$

Đặt $x=2^k\Rightarrow 2^{t(k+1)}=2^{2^{k+1}}$

$\Rightarrow t(k+1)=2^(k+1)\Rightarrow k+1=2^l\Rightarrow t=2^{2^l-l}$

Khả năng $2: x\neq y$. Do phương trình có tính hoán vị nên ta có thể giả sử $x<y$

Do $x^y.y^x=(x+y)^z$ nên $y|(x+y)^z=A.y+x^z\Rightarrow y|x^z$

$\Rightarrow x|y$. Đặt $y=kx$. Do $y>x$ nên $k\neq 1$

$\Rightarrow x^{kx}.k^x.x^x=(x+kx)^z\Rightarrow x^{kx+x}.k^x=x^z.(k+1)^z$

$\Rightarrow x^{x+kx-z}=\frac {(k+1)^z}{k^x}$ là số nguyên dương.Mặt khác lại có $gcd(k,k+1)=1$ nên $k=1$ (Mâu thuẫn).

Kết luận:...

[Ego]

Đặt $d = \gcd(x, y)$ và $\begin{cases} x = dm \\ y = dn\end{cases}$ với $\gcd(m, n) = 1$
Như Bảo đã đánh giá, $z \le x + y$.
Khi đó viết lại PT, $d^{x + y - z}m^{y}.n^{x} = (m + n)^{z}$
Xét modulo $m$, ta thu được $n^{z} \vdots m$, mặt khác, $\gcd(m, n) = 1$ nên $m = 1$
Tương tự với modulo $n$ ta thu được $n = 1$. Hay $x = y$.
Thế lại PT đầu, ta thu được $x^{2x} = (2x)^{z} \iff x^{2x - z} = 2^{z}$
Do đó $x = 2^{t}$, khi đó ta thu được $2xt - zt = z \iff z(t + 1) = 2xt \implies t.2^{t + 1} = z(t + 1)$
Lại để ý là  $t.2^{t + 1} \vdots t + 1 \implies 2^{t + 1} \vdots t + 1 \implies t + 1 = 2^{u}$
Khi đó $z = (2^{u} - 1).2^{t + 1 - u} = (2^{u} - 1).2^{2^{u} - u}$ và $x = y = 2^{2^{u} - 1}$