Chủ đề này có 2 trả lời

[tunglamlqddb]

x, y, z>0: x+y+z=3

CMR: $$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\geqslant \frac{3}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tunglamlqddb: 20-04-2016 - 15:53

[phamngochung9a]

x, y, z>0: x+y+z=3

CMR: $$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\geqslant \frac{3}{2}$$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{yz}{x}}=a & & \\ \sqrt{\frac{zx}{y}}=b & & \\ \sqrt{\frac{xy}{z}}=c & & \end{matrix}\right.$.

Bài toán đưa về chứng minh:

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$ với $ab+bc+ca=3$

Không mất tính tổng quát, giả sử $ab\geq 1$, dễ chứng minh:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Mặt khác: 

$3=ab+bc+ca\geq ab+2c\sqrt{ab}\\\Rightarrow c\leq \frac{3-ab}{2\sqrt{ab}}$

Đặt $ab=t$, ta có: $t\in \left ( 0;\frac{9}{4} \right )$

$VT\geq \frac{2}{1+t}+\frac{1}{1+\left ( \frac{3-t}{2\sqrt{t}} \right )^{2}}$

Vậy cần chứng minh:

$\frac{2}{1+t}+\frac{1}{1+\left ( \frac{3-t}{2\sqrt{t}} \right )^{2}}\geq \frac{3}{2}\\\Leftrightarrow \frac{2}{1+t}+\frac{4t}{t^{2}-2t+9}\geq \frac{3}{2}\\\Leftrightarrow \frac{6t^{2}+18}{\left ( 1+t \right )\left ( t^{2}-2t+9 \right )}\geq \frac{3}{2}\\\Leftrightarrow t^{3}-5t^{2}+7t-3\leq 0\\\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )^{2}\left ( t-3 \right )\leq 0$

Vì BĐT cuối đúng với mọi $t\in \left ( 0;\frac{9}{4} \right )$ nên BĐT đầu đúng.

 

Ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 21-04-2016 - 20:11

[tunglamlqddb]

Dồn biến từ đầu luôn cũng được!