Chủ đề này có 5 trả lời

[Black Pearl]

Cho $x+y=1, x;y>0$. Tìm max, min của $M=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-04-2016 - 20:20

[nguyenanhshaff]

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x+y+1}{y+1}+\frac{x+y+1}{x+1}-2=\frac{2}{y+1}+\frac{2}{x+1}=2(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{x+1})-2$$\geq 2(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})-2=0$

[kieutuanduc]

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x+y+1}{y+1}+\frac{x+y+1}{x+1}-2=\frac{2}{y+1}+\frac{2}{x+1}=2(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{x+1})-2$$\geq 2(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})-2=0$

Dấu bằng không xr bạn ơi!?

[kieutuanduc]

Đồng ý đến đoạn cộng thêm1 thôi . Đến đấy làm như sau
$M =(x+y+1)(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1})-2\geq 2(\frac{4}{x+y+2})-2=\frac{2}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-04-2016 - 20:47

[manhbbltvp]

bạn ơi đề bài phải là x,y  $\geq 0$ chứ. Nếu như thế thì mình làm như  thế này xem có đúng không nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhbbltvp: 20-04-2016 - 21:36

[manhbbltvp]

M=$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^{2}+y^{2}+x+y}{xy+x+y+1}=\frac{(x+y)^{2}-2xy+1}{2+xy} \Rightarrow M=\frac{2-2xy}{2+xy}=-2+\frac{6}{2+xy} (vì x+y=1) mà x,y\geq 0\Rightarrow xy>0\Rightarrow 2+xy\geq 2\Rightarrow \frac{6}{2+xy}\leq 3 \Rightarrow M\leq -2+3=1 dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=1,y=0 hoặc x=0,y=1$