USA(J)MO 2016
Ngày 1. (19/04/2016)Bài J1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp trong đường tròn $\omega$. $P$ là một điểm di động trên cung $BC$ không chứa $A$ của $\omega$ và $I_{b}, I_{c}$ lần lượt là tâm nội tiếp của $\triangle ABP$ và $\triangle ACP$.
Chứng minh rằng khi điểm $P$ di động, đường tròn $(PI_{b}I_{c})$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài J2. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $n < 10^{6}$ sao cho $5^{n}$ chứa sáu chữ số $0$ liên tiếp trong biễu diễn thập phân.
Bài J3. Cho $\mathbb{X}_{1}, \mathbb{X}_{2}, \cdots , \mathbb{X}_{100}$ là các tập con khác rỗng đôi một khác nhau của tập $\mathbb{S}$. Hai tập $\mathbb{X}_{i}$ và $\mathbb{X}_{i + 1}$ bất kỳ thì giao của chúng là bằng rỗng và hợp của chúng không là cả một tập $\mathbb{S}$, nói cách khác, $\mathbb{X}_{i} \cap \mathbb{X}_{i + 1} = \varnothing$ và $\mathbb{X}_{i} \cup \mathbb{X}_{i + 1} \neq \mathbb{S}$, với mọi $i \in \{1, \cdots , 99\}$. Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của $\mathbb{S}$
Ngày 2. (20/04/2016)
Bài 4. Tìm, và chứng minh số nguyên $N$ bé nhất sao cho nếu bỏ đi $2016$ phần tử từ tập $\{1, 2, \cdots , N\}$, chúng ta vẫn có thể tìm ra $2016$ số nguyên phân biệt trong các số còn lại có tổng bằng $N$.
Bài 5. Cho tam giác nhọn $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$. $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ và $P, Q$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $H$ xuống $AB, AC$. Cho biết $AH^{2} = 2AO^{2}$. Chứng minh rằng $O, P, Q$ thẳng hàng.
Bài 6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x, y$, $$(f(x) + xy)f(x - 3y) + (f(y) + xy)f(3x - y) = (f(x + y))^{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 21-04-2016 - 17:34