Chủ đề này có 3 trả lời

[Ego]

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$, $p\in\mathbb{S}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố thuộc tập $\mathbb{S}$. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn

Facebook - thầy Trần Nam Dũng

Trước đây Zaraki có đăng một bài tương tự về bài toán như thế này nhưng tổng quát hơn, mong các bạn cho lời giải để đi đến bài toán tổng quát cho số có dạng $x^{2} + dy^{2}$ của Zaraki.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 22-04-2016 - 23:51

[I Love MC]

Chém câu dễ còn câu khó rảnh thì làm  
$p=x^2+3y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ mà $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ suy ra $p \equiv 1 \pmod{3}$ 

[superpower]

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn

Facebook - thầy Trần Nam Dũng

Trước đây Zaraki có đăng một bài tương tự về bài toán như thế này nhưng tổng quát hơn, mong các bạn cho lời giải để đi đến bài toán tổng quát cho số có dạng $x^{2} + dy^{2}$ của Zaraki.

Câu a

Ta có $m=a^2+3b^2 ; n =c^2+3d^2 => mn= (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) =( a^2c^2+6abcd+ 9b^2d^2)+3(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)=(ac+3bd)^2+ 3(ad-bc)^2 $

Vậy $mn \in S$

[Ego]

Theo mình nghĩ thì mấy câu đầu khá dễ
a) $(a^{2} + 3b^{2})(c^{2} + 3d^{2}) = (ac + 3bd)^{2} + 3(ad - bc)^{2} = (ac - 3bd)^{2} + 3(ad + bc)^{2}$
b)
i)$N = x^{2} + 3y^{2}$, dĩ nhiên nếu $2\mid x
\iff 2\mid y$, trường hợp này hiển nhiên $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$.
Xét $x, y$ đều lẻ, để ý là $x^{2} - 9y^{2} \equiv 1 - 9 \equiv 0\pmod{8}$, do đó $4\mid x - 3y$ hoặc $4\mid x + 3y$. Giả sử là $4\mid x - 3y$ (TH kia chứng minh tương tự):
Khi đó $\frac{N}{4} = \left(\frac{x - 3y}{4}\right)^{2} + 3\left(\frac{x + y}{4}\right)^{2}$
ii) Với trường hợp $p = 3$ thì ta chỉ cần quan tâm đến việc $3\mid x \iff 3\mid y$ (cái này có thể chứng minh khá dễ). Ta sẽ quan tâm tới các TH khác:
Nếu $r^{2} + 3t^{2} = p\mid x, y$ thì từ đẳng thức ở câu a) cho ta $p\times (x'^{2} + 3y'^{2}) \in \mathbb{S}$
Ngược lại, khi đó ta có $r^{2} + 3t^{2}\mid x^{2} + 3y^{2}$ thì $(rx + 3ty)(rx - 3ty) = (rx)^{2} - 9(ty)^{2} = r^{2}(x^{2} + 3y^{2}) - 3y^{2}(r^{2} + 3t^{2}) \vdots r^{2} + 3t^{2}$. Do $r^{2} + 3t^{2} \in \mathbb{P}$ nên hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$ hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx - 3ty$. Không mất tổng quát, giả sử $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$:
$\frac{x^{2} + 3y^{2}}{r^{2} + 3t^{2}} = \left(\frac{rx + 3ty}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2} + 3\left(\frac{ry - tx}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2}$
c) Đặt $p = r^{2} + 3t^{2}$, do $p > 3$ là số nguyên tố nên $\gcd(r, t) = 1$. Xét trên modulo $p$: $(rt^{-1})^{2} + 3 \equiv 0\pmod{p} \iff \left(\frac{-3}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1\pmod{3}$. Áp dụng luôn sẽ cho ta kết quả (chứng minh trên sẽ dẫn ra trực tiếp nếu $p > 3$ mà thuộc $\mathbb{S}$ thì $p\equiv 1\pmod{3}$ - tương ứng với chiều thuận của câu d))
d) Đảo: Mình có một lời giải không đẹp cho câu d) này, mong các bạn sẽ thử sức trước :-P.