Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một số vấn đề liên quan đến số có dạng $x^{2} + 3y^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-04-2016 - 23:22

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$, $p\in\mathbb{S}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố thuộc tập $\mathbb{S}$. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 22-04-2016 - 23:51


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 20-04-2016 - 23:30

Chém câu dễ còn câu khó rảnh thì làm :P 
$p=x^2+3y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ mà $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ suy ra $p \equiv 1 \pmod{3}$ 



#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-04-2016 - 17:19

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn

Câu a

Ta có $m=a^2+3b^2 ; n =c^2+3d^2 => mn= (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) =( a^2c^2+6abcd+ 9b^2d^2)+3(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)=(ac+3bd)^2+ 3(ad-bc)^2 $

Vậy $mn \in S$



#4 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-04-2016 - 00:11

Theo mình nghĩ thì mấy câu đầu khá dễ
a) $(a^{2} + 3b^{2})(c^{2} + 3d^{2}) = (ac + 3bd)^{2} + 3(ad - bc)^{2} = (ac - 3bd)^{2} + 3(ad + bc)^{2}$
b)
i)$N = x^{2} + 3y^{2}$, dĩ nhiên nếu $2\mid x
\iff 2\mid y$, trường hợp này hiển nhiên $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$.
Xét $x, y$ đều lẻ, để ý là $x^{2} - 9y^{2} \equiv 1 - 9 \equiv 0\pmod{8}$, do đó $4\mid x - 3y$ hoặc $4\mid x + 3y$. Giả sử là $4\mid x - 3y$ (TH kia chứng minh tương tự):
Khi đó $\frac{N}{4} = \left(\frac{x - 3y}{4}\right)^{2} + 3\left(\frac{x + y}{4}\right)^{2}$
ii) Với trường hợp $p = 3$ thì ta chỉ cần quan tâm đến việc $3\mid x \iff 3\mid y$ (cái này có thể chứng minh khá dễ). Ta sẽ quan tâm tới các TH khác:
Nếu $r^{2} + 3t^{2} = p\mid x, y$ thì từ đẳng thức ở câu a) cho ta $p\times (x'^{2} + 3y'^{2}) \in \mathbb{S}$
Ngược lại, khi đó ta có $r^{2} + 3t^{2}\mid x^{2} + 3y^{2}$ thì $(rx + 3ty)(rx - 3ty) = (rx)^{2} - 9(ty)^{2} = r^{2}(x^{2} + 3y^{2}) - 3y^{2}(r^{2} + 3t^{2}) \vdots r^{2} + 3t^{2}$. Do $r^{2} + 3t^{2} \in \mathbb{P}$ nên hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$ hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx - 3ty$. Không mất tổng quát, giả sử $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$:
$\frac{x^{2} + 3y^{2}}{r^{2} + 3t^{2}} = \left(\frac{rx + 3ty}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2} + 3\left(\frac{ry - tx}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2}$
c) Đặt $p = r^{2} + 3t^{2}$, do $p > 3$ là số nguyên tố nên $\gcd(r, t) = 1$. Xét trên modulo $p$: $(rt^{-1})^{2} + 3 \equiv 0\pmod{p} \iff \left(\frac{-3}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1\pmod{3}$. Áp dụng luôn sẽ cho ta kết quả (chứng minh trên sẽ dẫn ra trực tiếp nếu $p > 3$ mà thuộc $\mathbb{S}$ thì $p\equiv 1\pmod{3}$ - tương ứng với chiều thuận của câu d))
d) Đảo: Mình có một lời giải không đẹp cho câu d) này, mong các bạn sẽ thử sức trước :-P.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh