Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $
Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $
#1
Đã gửi 21-04-2016 - 16:13
#2
Đã gửi 21-04-2016 - 19:42
Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $
Có
$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$
Lại có
$3b+4=a^2+b^2+1+4\geq 2a+4b\Rightarrow a+\frac{b}{2}\leq 2$
Do đó suy ra
$P\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}\geq \frac{8}{(2+2)^2}=\frac{1}{2}$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2 \end{matrix}\right.$
- CaptainCuong và Unstopable thích
#3
Đã gửi 21-04-2016 - 20:21
Có
$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$
Ngược dấu rồi bạn ơi .
Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$
=>$2a+b\geq 2ab$(1)
Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)
Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$
Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$
=>$A\geq \frac{1}{2}$
Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 21-04-2016 - 20:28
- Unstopable yêu thích
#4
Đã gửi 21-04-2016 - 20:24
Ngược dấu rồi bạn ơi .
Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$
=>2a+b\geq 2ab$(1)
Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)
Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$
Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$
=>$A\leq \frac{1}{2}$
Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.
Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi
Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 21-04-2016 - 20:25
- Unstopable yêu thích
#5
Đã gửi 21-04-2016 - 20:31
Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi
Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?
Mình đánh nhầm đã chữa
Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$/2 nhưng lại ngược dấu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 21-04-2016 - 20:35
- Unstopable yêu thích
#6
Đã gửi 21-04-2016 - 20:34
Mình đánh nhầm đã chữa
Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$ nhưng lại ngược dấu
Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình
Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 21-04-2016 - 20:35
- tquangmh, Unstopable và kieutuanduc thích
#7
Đã gửi 21-04-2016 - 20:48
Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình
Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Cái bất đẳng thức của bạn sẽ đúng với $b^{2}+4ab+a^{2}\geq 0$ nhưng ở đây bạn chưa chỉ ra cái gì cả.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh