Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 soros_fighter

soros_fighter

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 21-04-2016 - 16:13

Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $



#2 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-04-2016 - 19:42

Cho $a^2+b^2+1=3b $. Tính GTNN : $ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2} $

Có 

$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$

Lại có

$3b+4=a^2+b^2+1+4\geq 2a+4b\Rightarrow a+\frac{b}{2}\leq 2$

Do đó suy ra

$P\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}\geq \frac{8}{(2+2)^2}=\frac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2 \end{matrix}\right.$



#3 hieuhanghai

hieuhanghai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Làm toán, đọc truyện, bóng đá,cầu lông,....

Đã gửi 21-04-2016 - 20:21

Có 

$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$

 

Ngược dấu rồi bạn ơi .

Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$

=>$2a+b\geq 2ab$(1)

Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)

Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$

Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$

=>$A\geq \frac{1}{2}$

Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 21-04-2016 - 20:28


#4 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-04-2016 - 20:24

Ngược dấu rồi bạn ơi .

Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$

=>2a+b\geq 2ab$(1)

Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)

Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$

Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$

=>$A\leq \frac{1}{2}$

Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.

Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi

Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 21-04-2016 - 20:25


#5 hieuhanghai

hieuhanghai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Làm toán, đọc truyện, bóng đá,cầu lông,....

Đã gửi 21-04-2016 - 20:31

Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi

Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?

Mình đánh nhầm đã chữa

Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$/2 nhưng lại ngược dấu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 21-04-2016 - 20:35


#6 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-04-2016 - 20:34

Mình đánh nhầm đã chữa

Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$ nhưng lại ngược dấu

Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình

Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 21-04-2016 - 20:35


#7 hieuhanghai

hieuhanghai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Làm toán, đọc truyện, bóng đá,cầu lông,....

Đã gửi 21-04-2016 - 20:48

Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình

Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Cái bất đẳng thức của bạn sẽ đúng với $b^{2}+4ab+a^{2}\geq 0$ nhưng ở đây bạn chưa chỉ ra cái gì cả. 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh