Chủ đề này có 1 trả lời

[Gachdptrai12]

Cho đoạn thẳng $BC. E$ là trung điểm $BC,D$ là trung điểm $EC$. Trên trung trực đoạn $CE$ lấy $F$ bất kỳ. $A$ thuộc tia đối tia $FC$ sao cho $FC=3FA. (AEC)$ giao $AB$ lần hai tại $G$. Chứng minh $EG$ vuông góc $GF$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 21-04-2016 - 23:36
$LaTeX$

[baopbc]

Cho đoạn thẳng $BC. E$ là trung điểm $BC,D$ là trung điểm $EC$. Trên trung trực đoạn $CE$ lấy $F$ bất kỳ. $A$ thuộc tia đối tia $FC$ sao cho $FC=3FA. (AEC)$ giao $AB$ lần hai tại $G$. Chứng minh $EG$ vuông góc $GF$.

Lời giải.

$DF$ cắt $AB$ tại $L$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $DL$ cắt $AB$ tại $K$

Hình vẽ bài toán

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ACB$ với $\overline{D,F,L}$

$\Rightarrow \frac {LA}{LB}=\frac {1}{9}$.

Mặt khác theo định lí $Thales$ thì $\frac {AK}{AB}=\frac {1}{4}$

$\Rightarrow \frac {LA}{AK}=\frac {1}{2}$

Gọi $G'$ là hình chiếu của $D$ lên $AB$. Dễ thấy $\triangle BG'D\sim \triangle KFL$

$\Rightarrow \triangle G'DE\sim \triangle FLA$

$\Rightarrow \angle G'ED=\angle FAL\Rightarrow AG'EC$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow G\equiv G'$.

Dễ thấy $\triangle LGD\sim \triangle DGB$ nên $\triangle GED\sim \triangle GFL$

$\Rightarrow \angle EGD=\angle FGA\Rightarrow FG\perp GE.\blacksquare$