$DF$ cắt $AB$ tại $L$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $DL$ cắt $AB$ tại $K$
Hình vẽ bài toán
Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ACB$ với $\overline{D,F,L}$
$\Rightarrow \frac {LA}{LB}=\frac {1}{9}$.
Mặt khác theo định lí $Thales$ thì $\frac {AK}{AB}=\frac {1}{4}$
$\Rightarrow \frac {LA}{AK}=\frac {1}{2}$
Gọi $G'$ là hình chiếu của $D$ lên $AB$. Dễ thấy $\triangle BG'D\sim \triangle KFL$
$\Rightarrow \triangle G'DE\sim \triangle FLA$
$\Rightarrow \angle G'ED=\angle FAL\Rightarrow AG'EC$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow G\equiv G'$.
Dễ thấy $\triangle LGD\sim \triangle DGB$ nên $\triangle GED\sim \triangle GFL$
$\Rightarrow \angle EGD=\angle FGA\Rightarrow FG\perp GE.\blacksquare$