Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 64a^{3}b^{3}c^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

1, Cho $a;b;c$ là các số dương thoả mãn: $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng: $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 64a^{3}b^{3}c^{3}$

2, Cho $x;y$ là các số thoả mãn: $x^{3} + y^{3} + 3(x^{2}+y^{2}) + 4(x+y) + 4 = 0$ và $x.y>0$. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. 



#2
Nobel

Nobel

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

1, Cho $a;b;c$ là các số dương thoả mãn: $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng: $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 64a^{3}b^{3}c^{3}$

Bạn thử làm theo hướng này xem: Đặt a=2-b-c sau đó thế vào rồi tính


" Im lặng là câu trả lời tốt nhất mà bạn có thể dành cho kẻ ba hoa " !

 




 

 


#3
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

2, Cho $x;y$ là các số thoả mãn: $x^{3} + y^{3} + 3(x^{2}+y^{2}) + 4(x+y) + 4 = 0$ và $x.y>0$. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. 

 

$x^3+y^3+3x^2+3y^2+4(x+y)+4=0$

 

$\iff (x+1)^3+(y+1)^3+(x+1)+(y+1)=0$

 

$\iff (x+y+2)[(x+1)^2-(x+1)(y+1)+(y+1)^2+1]=0$

 

$\iff x+y=-2$

 

Thay vào ta có: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-2}{xy} \leq \dfrac{-8}{(x+y)^2}=\dfrac{-8}{2^2}=-2$

 

$\iff x=y=-1$


Don't care


#4
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

1, Cho $a;b;c$ là các số dương thoả mãn: $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng: $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 64a^{3}b^{3}c^{3}$

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=abc.(a+b+c)^3\geq abc.27abc=27a^{2}b^{2}c^{2}$

Xét hiệu : $27a^{2}b^{2}c^{2}-64a^{3}b^{3}c^{3}=a^{2}b^{2}c^{2}.(27-64abc)$

$2=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{8}{27}< \frac{27}{64}\Rightarrow 27-64abc> 0$

Suy ra ĐPCM .



#5
lilyone

lilyone

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đây có phải là đề thi ở Quỳ Hợp vừa rồi không?

Em là Hoàng Anh Chung à?



#6
lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=abc.(a+b+c)^3\geq abc.27abc=27a^{2}b^{2}c^{2}$

Xét hiệu : $27a^{2}b^{2}c^{2}-64a^{3}b^{3}c^{3}=a^{2}b^{2}c^{2}.(27-64abc)$

$2=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{8}{27}< \frac{27}{64}\Rightarrow 27-64abc> 0$

Suy ra ĐPCM .

Thế dấu bằng không xảy ra à?


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#7
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Thế dấu bằng không xảy ra à?

Có thấy còn $a^2b^2c^2=0$ không :D !! Dấu bằng đó !



#8
lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Có thấy còn $a^2b^2c^2=0$ không :D !! Dấu bằng đó !

 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c và a hoặc b hoặc c bằng 0 nên a=b=c=0, vậy a+b+c=0 ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lily evans: 23-04-2016 - 05:23

NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#9
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c và a hoặc b hoặc c bằng 0 nên a=b=c=0, vậy a+b+c=0 ???

Dấu bằng không xảy ra :D 



#10
lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

thế a=2 ,b=c=0 và các hoán vị thì sao?

Đề cho a, b, c dương mà.

Mà cái đề này có sai không vậy? Thường thường thì dấu bằng kiểu gì cũng xảy ra nếu người ta yêu cầu chứng minh


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh