Chủ đề này có 2 trả lời

[PlanBbyFESN]

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ .Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 22-04-2016 - 18:30

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ .Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bổ đề. $$\dfrac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$$

Chứng minh. Ta có, theo bất đẳng thức AM-GM thì: $$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$$=\dfrac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$$

Bổ đề được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Áp dụng vào bài toán. 

Ta có: $$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}}$$

$$\geq \sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{3(ab+bc+ca)^{3}}}{9}}=\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$

(Vì $(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca)$)

Bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-04-2016 - 18:56

[KietLW9]

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ .Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$ thì ta cần chứng minh: $\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geqslant 1$ hay $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$

Thật vậy, ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$