Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Quan Nguyen

Quan Nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Nhờ mọi người giải giúp:

Đề: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.

                     Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{1}{2}$


"Các bài giảng của giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức của bản thân giáo viên đến đâu, thì về thực chất, mà nói, đó chẳng qua cũng vẫn chỉ là chương trình, là những lời chỉ dẫn tuần tự để điều chỉnh trật tự nhận thức của sinh viên. Người nào chỉ biết ngồi nghe giáo sư giảng chứ bản thân mình trong lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, thì có thể nói tất cả những điều người ấy nghe giảng ở trường đại học cũng sẽ chỉ như một tòa nhà xây trên cát mà thôi." I.A. Gontcharov

 


#2
manhbbltvp

manhbbltvp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết

áp dụng bdt Schwarz $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+c}$$\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )}=\frac{1}{2}$

 dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhbbltvp: 22-04-2016 - 21:31


#3
kieutuanduc

kieutuanduc

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 50 Bài viết
Áp dụng BĐT cauchy ra lun pạn à

#4
Quan Nguyen

Quan Nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

 

là $\frac{c^{2}}{c+a}$ chứ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quan Nguyen: 22-04-2016 - 21:18

"Các bài giảng của giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức của bản thân giáo viên đến đâu, thì về thực chất, mà nói, đó chẳng qua cũng vẫn chỉ là chương trình, là những lời chỉ dẫn tuần tự để điều chỉnh trật tự nhận thức của sinh viên. Người nào chỉ biết ngồi nghe giáo sư giảng chứ bản thân mình trong lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, thì có thể nói tất cả những điều người ấy nghe giảng ở trường đại học cũng sẽ chỉ như một tòa nhà xây trên cát mà thôi." I.A. Gontcharov

 


#5
tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết

Nhờ mọi người giải giúp:

Đề: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.

                     Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{1}{2}$

Giải chi tiết chứ các bạn,

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có : 

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a$

Tương tự : 

$\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq b\\\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\geq c$

Cộng vế theo vế : 

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}\geq a+b+c\\\Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{2(a+b+c)}{4}\geq a+b+c\\\Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{2}{4}\geq 1(a+b+c=1)\\\Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq 1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

P/s : mình nghĩ thiếu đề phải là 3 số thực dương

**********************

Mở rộng với 4 số a, b, c, d :

Cho 4 số thực a, b, c, d dương thỏa mãn $a+b+c+d=1$

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\geq \frac{1}{2}$


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#6
quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Bài này dùng BĐT schawrz nè bạn:

Ta có : $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}= \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra <=>a=b=c=$\frac{1}{3}$


quangtohe1234567890


#7
Quan Nguyen

Quan Nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

2. Cho a, b, c là 3 số thực dương và a+b+c =1. Chứng minh :

             $\frac{a^{4}}{b\left ( 1-c \right )}+\frac{b^{4}}{c\left ( 1-a \right )}+\frac{c^{4}}{a\left ( 1-b \right )}+3\left ( ab+bc+ca \right )\geq \frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quan Nguyen: 26-04-2016 - 20:43

"Các bài giảng của giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức của bản thân giáo viên đến đâu, thì về thực chất, mà nói, đó chẳng qua cũng vẫn chỉ là chương trình, là những lời chỉ dẫn tuần tự để điều chỉnh trật tự nhận thức của sinh viên. Người nào chỉ biết ngồi nghe giáo sư giảng chứ bản thân mình trong lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, thì có thể nói tất cả những điều người ấy nghe giảng ở trường đại học cũng sẽ chỉ như một tòa nhà xây trên cát mà thôi." I.A. Gontcharov

 


#8
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đề bài hình như sai rồi bạn phải là lớn hơn hoặc bằng 1/2 á


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh