Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$



#2
81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$

Ta có:$ \sqrt{1+a^{3}}=\sqrt{(1+a)(a^{2}-a+1)}\leqslant \frac{1}{2}(a^{2}+2)$

$\Rightarrow \sqrt{1+8x}\leqslant \frac{1}{2}(2+4\sqrt[3]{x^{2}})$ Tương tự suy ra cần chứng minh:

$\frac{1}{1+2\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{1+2\sqrt[3]{y^{2}}}+\frac{1}{1+2\sqrt[3]{z^{2}}}\geqslant 1$

Lại có: $\frac{1}{1+2\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{1+2\sqrt[3]{y^{2}}}+\frac{1}{1+2\sqrt[3]{z^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2\sqrt[3]{y^{2}}}+\frac{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2\sqrt[3]{z^{2}}}=\sum \frac{\sqrt[3]{(xy)^{2}}}{\sqrt[3]{(xy)^{2}}+2}\geqslant \frac{(\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx})^{2}}{6+\sqrt[3]{(xy)^{2}}+\sqrt[3]{(yz)^{2}}+\sqrt[3]{(zx)^{2}}}$ (do xyz=1)

Mà $(\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx})^{2}=\sqrt[3]{(xy)^{2}}+\sqrt[3]{(yz)^{2}}+\sqrt[3]{(zx)^{2}}+2\sqrt[3]{(xyz)}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})\geqslant \sqrt[3]{(xy)^{2}}+\sqrt[3]{(yz)^{2}}+\sqrt[3]{(zx)^{2}}+6$ (do xyz=1) Suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi z=y=x=1 (mình viết nhầm, bạn đổi x,y,z thành a,b,c nhé)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 23-04-2016 - 20:17


#3
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

Do abc=1 nên tồn tại x,y,z sao cho:$\left\{\begin{matrix} a= \frac{xy}{z^2}\\ b=\frac{yz}{x^2}\\ c= \frac{zx}{y^2}\end{matrix}\right.$

Từ đó ra bất đẳng thức IMO 2001


Nothing in your eyes


#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đặt: $x=\frac{1}{\sqrt{1+8a}};y=\frac{1}{\sqrt{1+8b}};z=\frac{1}{\sqrt{1+8c}}$

Thấy rằng 0<x,y,z<1 và $a=\frac{1-x^2}{8x};b=\frac{1-y^2}{8y};c=\frac{1-z^2}{8z}$.

Do abc=1 nên ta có: $8^{3}x^{2}y^{2}z^{2}=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$

Theo đề bài ta sẽ chứng minh $x+y+z\geq 1$

Giả sử x+y+z<1

Ta có: $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(z+y)[(x+y)+(x+z)]\geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$

Tương tự ta có: $1-y^2>\geq 2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}>0$

                          $1-z^2>\geq 2(y+x)\sqrt{(x+z)(y+z)}>0$

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: $8^{3}x^{2}y^{2}z^{2}=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)> 8(x+z)^{2}(x+y)^{2}(y+z)^{2}$

Suy ra 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x) (Điều này vô lí)

Vậy điều giả sử sai ta có đpcm


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh