Chủ đề này có 1 trả lời

[CaoHoangAnh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 22-04-2016 - 23:38

[royal1534]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

Dự đoán $MinA=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ nên ta đi chứng minh $A \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
------------------------------------
Sử dụng giả thiết $a^2+b^2+c^2=1$. Viết lại bđt cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)$
Thật tự nhiên. Ta dự đoán có bđt phụ sau: $\frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
Thật vậy. BĐT trên $\Leftrightarrow 3\sqrt{3}a(1-a^2) \leq 2$
                                $\Leftrightarrow 27a^2(1-a^2)^2 \leq 4$
Sử dụng bđt AM-GM ta có: $27a^2(1-a^2)^2=\frac{27}{2}.2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \frac{27}{2}.\frac{(2a^2+1-a^2+1-a^2)^3}{27}=4$
BĐT phụ được chứng minh. Thiết lập các bđt tương tự ta có
$A=\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 22-04-2016 - 23:39