Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của: $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ba Tri, Bến Tre
  • Sở thích:Toán, Lý, Anh

Đã gửi 23-04-2016 - 19:19

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$



#2 Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Rutenrra

Đã gửi 23-04-2016 - 20:43

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=((x^2+y^2)-\frac{1}{2})(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 24-04-2016 - 14:10


#3 lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:LÀM GIÀU

Đã gửi 23-04-2016 - 21:28

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=(2(x^2+y^2)-1)(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Hình như phần phân tích sau "ta có" bị sai thì phải, bạn ạ.


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#4 nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ba Tri, Bến Tre
  • Sở thích:Toán, Lý, Anh

Đã gửi 23-04-2016 - 22:48

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=(2(x^2+y^2)-1)(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$ mà bạn!



#5 Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Rutenrra

Đã gửi 24-04-2016 - 14:10

Hình như phần phân tích sau "ta có" bị sai thì phải, bạn ạ.

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$ mà bạn!

Đã sửa



#6 Phan Thien

Phan Thien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-04-2016 - 14:53

nhanh ha



#7 Phan Thien

Phan Thien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-04-2016 - 15:11

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                

 chỗ đó thấy hơi kì á bạn. theo t là $P=3(x^{2}+y^{2})^{2}-3x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+2$

Giải thích giùm t chỗ đó với



#8 lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:LÀM GIÀU

Đã gửi 24-04-2016 - 16:40

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=((x^2+y^2)-\frac{1}{2})(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

bạn Dark Magician 2k2 hình như vẫn sai.


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#9 nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ba Tri, Bến Tre
  • Sở thích:Toán, Lý, Anh

Đã gửi 25-04-2016 - 20:40

bạn Dark Magician 2k2 hình như vẫn sai.

Đã tìm ra cách giải :3

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$

$\Leftrightarrow P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$

Áp dụng bđt Cauchy ngược ta được:

$P\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-(\frac{x^{2}+y^{2}}{2})^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$

Đặt $x^{2}+y^{2}=t$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}(x+y)^{3}+4xy\geq 2\\ (x+y)^{2}-4xy\geq 0\end{matrix}\right.$

          $\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2$

          $\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

          $\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta được: 

   $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

   $\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$

Xét: $f(t)=\frac{9}{4}t^{2}-2t+1$     $\forall t\geq \frac{1}{2}$

Lập bảng biến thiên rồi tìm Min.

ĐS: $minP=\frac{9}{16}$ tại $x=y=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhox sock tn: 27-04-2016 - 21:52





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh