Chủ đề này có 5 trả lời

[lily evans]

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

[leminhnghiatt]

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

 

Dễ dàng chứng minh: $\sqrt{x^2+1}-x \not =0; \sqrt{1+y^2}-y \not =0$

 

$\iff \begin{cases} x+\sqrt{1+x^2}=2016(\sqrt{1+y^2}-y) \\  y+\sqrt{1+y^2}=2016(\sqrt{1+x^2}-x) \end{cases}$

 

Nhân vế với vế ta được: (do cả 2 vế đều khác 0)

 

$\rightarrow (x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2016^2(\sqrt{1+y^2}-y)(\sqrt{1+x^2}-x)$

 

$\rightarrow 2016=2016^2[xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})]$

 

$\rightarrow xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})=\dfrac{1}{2016}$

 

Đặt $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=a; x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=b$

 

$\rightarrow a-b=\dfrac{1}{2016}$

 

Mà $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2016 \iff a+b=2016$

 

Đến đây ta được hệ: 

 

$\iff \begin{cases} a-b=\dfrac{1}{2016} \\  a+b=2016 \end{cases}$

 

Đến đây ta tính được $a$ hay tính đc $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$... 

[phamhuy1801]

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

 

Từ giả thiết ta có $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}+ x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2016$, hay $ (x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})^2=(2016-P)^2$

$\Leftrightarrow x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=(2016-P)^2$

$\Leftrightarrow (xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)})^2-1=(2016-P)^2 \Leftrightarrow P^2-1=2016^2-2.2016.P+P^2$

$\Leftrightarrow P=\frac{2016^2+1}{4032}$

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

Dễ CM: $\sqrt{x^2+1}-x \not =0; \sqrt{1+y^2}-y \not =0$

$(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2016\Leftrightarrow xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}+x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2016\Leftrightarrow (x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})^2=(2016-P)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=(2016-P)^2$

Mà: $P^2-1= x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$
$\Rightarrow P^2-1=(2016-P)^2\Leftrightarrow -1=2016^2-2.2016.P\Leftrightarrow P=\frac{2016^2+1}{4032}=1008+\frac{1}{4032}=...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 24-04-2016 - 19:04

[tranductucr1]

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

Ta có $(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{y^2+1}+y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} *\frac{1}{\sqrt{y^2+1}-y} =2016$ 
$\Rightarrow (\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{y^2+1}-y)= \frac{1}{2016}(1)$

ta có $(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{y^2+1}+y)=2016 (2) $ 

Cộng (1) vs (2)  ta có điều cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 24-04-2016 - 20:16

[lily evans]

Dễ CM: $\sqrt{x^2+1}-x \not =0; \sqrt{1+y^2}-y \not =0$

$(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2016\Leftrightarrow xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}+x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2016\Leftrightarrow (x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2})^2=(2016-P)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=(2016-P)^2$

Mà: $P^2-1= x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$
$\Rightarrow P^2-1=(2016-P)^2\Leftrightarrow -1=2016^2-2.2016.P\Leftrightarrow P=\frac{2016^2+1}{4032}=1008+\frac{1}{4032}=...$

Cách này giống cách của phamhuy1801 mà.