Chủ đề này có 1 trả lời

[DoKienhanoi]

cho x, y,z >0. $x\geq z$ tìm min của P = $\frac{xz}{y(y+z)}$ + $\frac{y^{2}}{z(x+y)}$ + $\frac{z}{x+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 24-04-2016 - 09:57

[KietLW9]

Ta có: $P=\frac{xz}{y(y+z)}+\frac{y^2}{z(x+y)}+\frac{z}{x+z}=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}$

Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b\Rightarrow \frac{x}{z}=ab\geqslant 1$

Ta cần tìm GTNN của $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}$

Xét: $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\geqslant \frac{(a+b)^2}{2ab+a+b} +\frac{1}{\frac{(a+b)^2}{4}+1}\geqslant \frac{(a+b)^2}{\frac{(a+b)^2}{2}+(a+b)}+\frac{4}{(a+b)^2+4}=\frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}$

Xét hiệu: $\frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}-\frac{3}{2}=\frac{(a+b-2)^3}{2(a+b+2)((a+b)^2+4)}\geqq 0$ (Luôn đúng do $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\geqslant2$)

$\Rightarrow \frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}\geqslant \frac{3}{2}$

Vậy P_min = $\frac{3}{2}$ khi x = y = z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-04-2021 - 18:35