Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 4 tháng 4/2016: Vấn đề hai góc bằng nhau xoay quanh một cấu hình đặc biệt về điểm $Lemoine$

hình học mỗi tuần một bài toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 24-04-2016 - 20:10

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 4 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Bài 36: Cho tam giác $ABC$ có điểm $Lemoine$ là $L$. Lấy $D,E,F$ lần lượt thuộc đoạn $LA,LB,LC$ sao cho $\angle FAC=\angle DCA$ và $\angle EAB=\angle DBA$

Chứng minh rằng: $\angle EBC=\angle FCB$.

Post 71.png

Hình vẽ bài toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 24-04-2016 - 20:56


#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 24-04-2016 - 20:22

Cám ơn Bảo, bài này là một cách tổng quát bài IMOSL 2000 G5 :)!

#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 24-04-2016 - 20:28

Tổng quát: Cho tam giác $ABC. K,L$ là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $AL,BL,CL$ với $BC,CA,AB$. Lấy các điểm $D,E,F$ sao cho giao điểm của $AF,CD$ nằm trên đường thẳng qua $N$ vuông góc với $AC$; giao điểm của $AE,BD$ nằm trên đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AB$. 

Chứng minh rằng: Giao điểm của $BF,CE$ nằm trên đường thẳng qua $M$ vuông góc với $BC$.

Post 72.png

Hình vẽ bài toán tổng quát



#4 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 24-04-2016 - 23:54

Thưa thầy và các bạn, bài toán tuần này (bài gốc) em thấy có bổ đề như sau ( em chưa chứng minh được bằng cách thuần túy) nhưng nếu chứng minh được thì bài toán sẽ được giải quyết. Em post lên để mọi người cùng thảo luận vậy:
Cho tam giác $ABC$ có điểm $Lemoine$ là $L.T,S$ thuộc $LB,LC$ sao cho $BS$ cắt $CT$ tại $Y$ thuộc trung trực $BC,AT,AS$ cắt $(ABC)$ tại $N, E$.
Khi đó $BE$ cắt $CN$ tại một điểm nằm trên đương trung tuyến ứng với đỉnh $A$ của $\triangle ABC$.
Bổ đề này em chứng minh hơi dài dòng như sau ạ!
Gọi $G$ là trọng tâm $ABC,BG,CG$ cắt $(ABC)$ tại $X, Y$ . Ta đưa về chứng minh $B(ECXA)=C(NBYA)$ chiếu chùm này lên $(ABC)$ được các tứ giác $AXCE$ và $AYBN$ Gọi $Ax$ là tiếp tuyến của $(ABC).AX$ cắt $CL$ tại $I$. Tương tự ta có $J.U$ và $V$ lần lượt là giao của $Ax$ với $CL$ và $BL$.

Ta chuyển về chứng minh $A(ISUC) = A(JTVC)$.Chú ý rằng có tính chất khi ta gọi các điểm như vậy thì $UB.IC.JV = CV.IU.JB$ (loại bỏ được điểm $T$ và $S$)
Hệ quả của bổ đề là khi áp dụng $Pascal$ cho các điểm $(XYCBEF)$ thì $YE$ cắt $XN$ tại một điểm thuộc $AG$.

Em sẽ cố up hình lên sớm nhất có thể ạ mong mọi người thông cảm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-04-2016 - 16:54


#5 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 25-04-2016 - 09:28

Cách giải của thầy thuần túy hình nhưng chắc chỉ dùng được trong trường hợp đối trung, mở rộng của Bảo hay, thầy đã từng nghĩ nhưng chưa thử vì chưa tự tin rằng các đường vuông góc kia đồng quy. Tuy nhiên từ cấu hình của Bảo đặt các điểm đồng quy nằm trên đường thẳng qua $M,N,P$ vuông góc với $BC,CA,AB$ là $X,Y,Z$ thì cm được $AX,BY,CZ$ đồng quy. Trong trường hợp điểm Lemoine thì điểm đồng quy nằm trên đường thẳng $GL$ với $G$ là trọng tâm.

 

Bổ đề mà Hoàng nhắc tới ở trên thầy nhớ là giống một bài toán nào đó có trên AoPS được giải bằng tỷ số kép bởi Telv Cohl. Thầy có giải 1 trường hợp tổng quát hơn, chú ý là chỉ giống chứ không phải chính là bổ đề đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 25-04-2016 - 11:06


#6 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 25-04-2016 - 12:55

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 4 và kèm theo đó là bài toán mới:

 

Bài 36: Cho tam giác $ABC$ có điểm $Lemoine$ là $L$. Lấy $D,E,F$ lần lượt thuộc đoạn $LA,LB,LC$ sao cho $\angle FAC=\angle DCA$ và $\angle EAB=\angle DBA$

Chứng minh rằng: $\angle EBC=\angle FCB$.

Lời giải bài toán gốc của em.

Ta cần có bổ đề sau.

Bổ đề $1$. Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC.D$ là trung điểm $BC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $F$. Lấy $E$ thuộc $DF. BE,CE$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $M,N$. Trên $MN$ lấy $T$ sao cho $D(CTEA)=-1$. Khi đó: $D(CT,MN)=-1$

Chứng minh. Gọi $S$ là giao điểm của $AE$ và $MN$. Theo tính chất quen thuộc của hàng điểm điều hòa thì $D(CSEA)=-1\Rightarrow S\equiv T$.

Mặt khác lại có $D(CS,MN)=-1$ nên $D(CT,MN)=-1.\blacksquare$

Post 73.png

Hình vẽ bổ đề 

Hệ quả. 

  • Gọi $P$ là trung điểm $AB$. Khi đó $P(AC,DE)=-1$
  • $CE,PD$, tiếp tuyến tại $B$ đồng quy.

Post 74.png

Hình vẽ

Quay lại giải bài toán tuần $4$ tháng $4$.

Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Tương tự ta cũng có $DN,BF,$ tiếp tuyến tại $C$ đồng quy.

Gọi $S,T$ lần lượt là giao của $DP,DN$ với tiếp tuyến tại $B,C. X$ là giao của tiếp tuyến tại $B$ và $C$.

Post 75.png

Hình vẽ bài toán

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ABX$ với $\overline{D,P,S}$; tam giác $ACX$ với $\overline{D,N,T}$ ta suy ra $\frac {XB}{XS}=\frac {XC}{XT}$

$\Rightarrow BC||ST\Rightarrow \angle TBC=\angle SCB.\blacksquare$

P/s: May mà có sự gợi ý từ thầy Hùng! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-04-2016 - 13:12


#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 25-04-2016 - 13:13

Lời giải này của Bảo dùng tỷ số kép hay, khác hoàn toàn của thầy, thầy đang cố gắng tìm một cách khác mà tiếp cận được bài tổng quát :)!



#8 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 25-04-2016 - 20:18

Cách khác của em sử dụng $Desargues$ và bổ đề trên.
$AG$ cắt $(O)$ tại $M$. Tương tự có $N,P$.
Gọi đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BA,CA$ tại $D_2,D_1$. Đường thẳng qua $E$ song song với $AC$ cắt $BA,BC$ tại $E_1,E_2$. Tương tự có $F_2,F_1$.


geogebra-export (1).png

Hình vẽ bài toán

$CD,BD$ cắt $(O)$ lần lượt tại $U,V. CE$ cắt $(O)$ tại $W,BF$ cắt $(O)$ tại $T$.
Áp dụng bổ đề trên ta suy ra $X=UM\cap WP\in CN$. Tương tự thì $Y=MV\cap NT\in BP$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $NXYP$ nội tiếp hay $XY||BC$. Áp dụng định lí $Dersagues$ cho $\triangle D_1P_1Y$ và $D_2N_1X$ với $A,G,M$ thẳng hàng ta được các đoạn tương ứng song song
Mặt khác để ý rằng $N_1.P_1$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ (ta gọi như vậy) nên $XY||BC\Rightarrow NXYP$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle FBC=\angle ECB.\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 27-04-2016 - 21:21


#9 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 25-04-2016 - 22:27

Em nghĩ bài toán gốc có thể dựng thêm các điểm liên hợp đẳng giác trong các tam giác $BDC,ABE,ACF$, nhưng chưa chứng minh được tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-04-2016 - 22:36

TLongHV


#10 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 25-04-2016 - 23:23

Thực chất hướng giải của em giống với hướng đồng dạng trung tuyến nhưng mở rộng ra thôi ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-04-2016 - 23:41


#11 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 27-04-2016 - 20:51

Lời giải bài toán gốc của em.

Ta cần có bổ đề sau.

Bổ đề $1$. Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC.D$ là trung điểm $BC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $F$. Lấy $E$ thuộc $DF. BE,CE$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $M,N$. Trên $MN$ lấy $T$ sao cho $D(CTEA)=-1$. Khi đó: $D(CT,MN)=-1$

Chứng minh. Gọi $S$ là giao điểm của $AE$ và $MN$. Theo tính chất quen thuộc của hàng điểm điều hòa thì $D(CSEA)=-1\Rightarrow S\equiv T$.

Mặt khác lại có $D(CS,MN)=-1$ nên $D(CT,MN)=-1.\blacksquare$

attachicon.gifPost 73.png

Hình vẽ bổ đề 

Hệ quả. 

  • Gọi $P$ là trung điểm $AB$. Khi đó $P(AC,DE)=-1$
  • $CE,PD$, tiếp tuyến tại $B$ đồng quy.

attachicon.gifPost 74.png

Hình vẽ

Quay lại giải bài toán tuần $4$ tháng $4$.

Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Tương tự ta cũng có $DN,BF,$ tiếp tuyến tại $C$ đồng quy.

Gọi $S,T$ lần lượt là giao của $DP,DN$ với tiếp tuyến tại $B,C. X$ là giao của tiếp tuyến tại $B$ và $C$.

attachicon.gifPost 75.png

Hình vẽ bài toán

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ABX$ với $\overline{D,P,S}$; tam giác $ACX$ với $\overline{D,N,T}$ ta suy ra $\frac {XB}{XS}=\frac {XC}{XT}$

$\Rightarrow BC||ST\Rightarrow \angle TBC=\angle SCB.\blacksquare$

P/s: May mà có sự gợi ý từ thầy Hùng! :)

Hình như lời giải của Bảo cần chứng minh giao điểm của $LZ$ và $DE$ thuộc $AP$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 27-04-2016 - 20:57


#12 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 27-04-2016 - 20:56

hình như lời giải của Bảo cần chứng minh giao điểm của $LZ$ và $DE$ thuộc $AP$ 

Ý anh là giao điểm của $LZ$ và $DE$ thuộc $CP$ ạ? :mellow:

Chỗ đó lí luận như sau: Từ bổ đề trên và để ý rằng $P(ZL,BC)=-1$(tính chất quen thuộc của điểm Lemoine) thì ta suy ra $P(DE,AC)=-1$

Em nghĩ việc chứng minh này em đã chứng minh trong phép chứng minh bổ đề rồi chứ ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 27-04-2016 - 20:57


#13 QuangDuong12011998

QuangDuong12011998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 05-05-2016 - 15:34

Rất thích các bài toán liên quan đến hai điểm đẳng giác và trong topic này thì rất ấn tượng với tổng quát của Bảo.

Phía trên thầy Hùng cũng đã đưa ra thêm bộ ba đường đồng quy trong cấu hình bài toán tổng quát.

Xin đưa ra thêm một số điều nữa, hi vọng sẽ nhận được nhiều sự quan tâm, phát triển:

1) $DX$, $EY$, $FZ$ đồng quy tại $I$.

2) Khi $D$, $E$, $F$ di chuyển trên $KA$, $KB$, $KC$ thì điểm đồng quy của $AX$, $BY$, $CZ$ và điểm $I$ lần lượt chạy trên hai đường thẳng đi qua $L$.

4-4-2016.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 05-05-2016 - 15:38


#14 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-05-2016 - 09:10

Một tổng quát hơn nữa mình vừa mới nhận được tự Telv Cohl:

Tổng quát. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O).P$ là một điểm bất kì trên mặt phẳng. $Q$ là điểm sao cho điểm liên hợp đẳng giác của $Q$ đối với tam giác $ABC$ thuộc $OP.AQ,BQ,CQ$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $X,Y,Z.D,E,F$ lần lượt là các điểm trên $PA,PB,PC$ sao cho $BD,AE$, đường thẳng qua $Z$ vuông góc với $AB$ đồng quy, $BF,CD$, đường thẳng qua $Y$ vuông góc với $AC$ đồng quy. Chứng minh rằng $BF,CE$, đường thẳng qua $X$ vuông góc với $BC$ đồng quy.

Post 154.png

Hình vẽ bài toán







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, mỗi tuần một bài toán

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh