Chủ đề này có 3 trả lời

[xuantrandong]

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F.$ Hạ $DK\perp EF$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$.

 

Mình sử dụng $Anti steiner$ và vị tự nhưng thấy khá phức tạp! Mọi người ai có ý kiến gì thì đóng góp nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 26-04-2016 - 12:31

[viet nam in my heart]

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F.$ Hạ $DK\perp EF$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$.

 

Mình sử dụng $Anti steiner$ và vị tự nhưng thấy khá phức tạp! Mọi người ai có ý kiến gì thì đóng góp nhé!

Bài này trước kia mình đã gặp nhưng chưa tìm thấy lời giải thuần túy 

Còn lời giải tính toán thì $KD$ cắt $AH$ tại $T$. $HK$ cắt $AI$ tại $S$. $L$ là trực tâm tam giác $DEF$

Để ý: $AI$ song song với $DK$ nên để chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$ thì ta chỉ cần $KS=KI$ hay $S,I$ đối xứng qua $EF$ 

Theo một tính chất quen thuộc thì chỉ cần $S$ là trực tâm tam giác $AEF$. 

Đến đây ta sẽ sử dụng định lý $Thales$ để tính hẳn $AS$ với $TK \parallel AS$

Để ý :$ATDI$ là một hình bình hành nên $HT=AH-AT=AH-ID=AH-r,TK=TD-DK=AI-DK$ thì ta tính được ngay

Mình có một số tính chất đã chứng minh được xoay quanh cấu hình này hi vọng có thể có lời giải thuần túy đơn giản:

1.Gọi $X$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$. Khi đó $\widehat{IKD}=\widehat{KIA}=\widehat{XID}$

2.Tia $KI$ cắt $(O)$ tại $M$. Khi đó $AM$ là đường kính của $(O)$

 Tia $IK$ cắt $(O)$ tại $N$. Khi đó $A,N,E,F,I$ đồng viên

Từ đó ta thấy nếu gọi $R$ là giao điểm của $KH$ và $IX$ thì chỉ cần chỉ ra $KIDR$ nội tiếp là bài toán được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 28-04-2016 - 00:29

[xuantrandong]

Mình cũng sử dụng bổ đề $2$ của bạn, mình chứng minh nó bằng phép vị tự. 

Kẻ đường kính $AM$. 

Để ý nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $\odot (O)$ tại điểm $X$ thì theo bổ đề $2$: $X,K,I,M$ thẳng hàng tức là $XM,EF$ cắt nhau tại $K$. 

Lấy $I'$ đối xứng với $I$ qua $EF$ thì $I'$ là trực tâm tam giác $AEF$.

Áp dụng định lí về điểm $Anti steiner$ dễ chứng minh được $X$ chính là điểm $Anti steiner$ đối với đường thẳng $HI'$ của tam giác $AEF$ nên $HI',EF$ và $XM$ từ đó nhận thấy $HI',EF$ và $XM$ đồng quy tại $K$. 

Do 2 đường thẳng $HI'$ và $XM$ đối xứng nhau qua $EF$ (theo $Anti steiner$) nên $KD $là phân giác $\angle IKH$

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 18:28

[Nguyen Dinh Hoang]

Mình có 1 cách xử lý bài này và cách này thầy Hùng cũng đã từng sử dụng bạn có thể xem lại lời giải của bài mà mình cho là tổng quát thành 2 điểm đẳng giác từ bài này đó là bài VMEO tháng 11 có lời giải của mình ở đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 18:28