Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $P$ nguyên:
$P=\frac{\left ( 17+12\sqrt{2} \right )^n-\left ( 17-12\sqrt{2} \right )^n}{4\sqrt{2}}$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $P$ nguyên:
$P=\frac{\left ( 17+12\sqrt{2} \right )^n-\left ( 17-12\sqrt{2} \right )^n}{4\sqrt{2}}$
Mạnh hơn : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì
$P=\frac{(17+12\sqrt{2})^n-(17-12\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}$ là một số nguyên và không là một số chính phương .
Ta có $17+12\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^4,17-12\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^4$
Khi đó $P=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2}.\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}-(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2\sqrt{2}}$
Đặt $A=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2},B=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}-(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2\sqrt{2}}$
Áp dụng nhị thức Newton : $(\sqrt{2}+1)^{2n}=x+\sqrt{2}y,(\sqrt{2}-1)^{2n}=x-\sqrt{2}y$ với $x,y$ là các số nguyên dương
Từ đó suy ra $A=x,B=y$ do đó $AB=P$ là số nguyên dương
Về việc chứng minh không là số chính phương thì ta có $A^2-2B^2=x^2-2y^2=(x+y\sqrt{2})(x-\sqrt{2}y)=1$
Do đó $gcd(A,B)=1$
Giả sử $P$ là số chính phương suy ra $A,B$ đều số là những số chính phương
Ta sẽ chứng minh $A$ không là số chính phương.
Thật vậy vì $A=\frac{[(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n]^2}{2}-1$ do đó $A$ không là số chính phương
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh