Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{\left ( 17+12\sqrt{2} \right )^n-\left ( 17-12\sqrt{2} \right )^n}{4\sqrt{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $P$ nguyên:

$P=\frac{\left ( 17+12\sqrt{2} \right )^n-\left ( 17-12\sqrt{2} \right )^n}{4\sqrt{2}}$



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Mạnh hơn : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì 
$P=\frac{(17+12\sqrt{2})^n-(17-12\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}$ là một số nguyên và không là một số chính phương . 
 
Ta có $17+12\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^4,17-12\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^4$ 
Khi đó $P=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2}.\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}-(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2\sqrt{2}}$
Đặt $A=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2},B=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}-(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2\sqrt{2}}$ 
Áp dụng nhị thức Newton : $(\sqrt{2}+1)^{2n}=x+\sqrt{2}y,(\sqrt{2}-1)^{2n}=x-\sqrt{2}y$ với $x,y$ là các số nguyên dương 
Từ đó suy ra $A=x,B=y$ do đó $AB=P$ là số nguyên dương 
Về việc chứng minh không là số chính phương thì ta có $A^2-2B^2=x^2-2y^2=(x+y\sqrt{2})(x-\sqrt{2}y)=1$ 
Do đó $gcd(A,B)=1$ 
Giả sử $P$ là số chính phương suy ra $A,B$ đều số là những số chính phương 
Ta sẽ chứng minh $A$ không là số chính phương.  
Thật vậy vì $A=\frac{[(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n]^2}{2}-1$ do đó $A$ không là số chính phương 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh