Chủ đề này có 2 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$

[Nhok Tung]

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{1}{a+b+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2} \right )$

Do đó VT $\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a+2}$

Ta chứng minh $\sum \frac{1}{a+2}\leq 1$

Biến đổi tương đương ta được $ab+bc+ca\geq 3$ ( đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$

Đặt $(x^3,y^3,z^3)\rightarrow (a,b,c)$ thì $\left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^3+y^3+4}+\frac{1}{y^3+z^3+4}+\frac{1}{z^3+x^3+4}\le \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+4}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+4}=\frac{z}{x+y+4z}$

Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{z}{x+y+4z}+\frac{x}{y+z+4x}+\frac{y}{z+x+4y}\leqslant \frac{1}{2}$

Đây là một bất đẳng thức đúng do: $\frac{1}{2}-(\frac{z}{x+y+4z}+\frac{x}{y+z+4x}+\frac{y}{z+x+4y})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(x-y)^2}{(4x+y+z)(4y+z+x)}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$