Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^{n} + n^{2}$ là số chính phương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^{n} + n^{2}$ là số chính phương



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đặt $3^n+n^2=a^2$ (1) với $a$ là số nguyên dương . Dễ thấy $a \ne n$
Suy ra $(a-n)(n+a)=3^n$  (1)
Xét $n=0$ thì thỏa 
Từ đó ta có  : $\begin{cases} &a-n=3^x&\\&a+n=3^{n-x} (2)& \end{cases}$ với $x,y$ là số nguyên dương  
Vì $a-n<a+n$ suy ra $n-2x \ge 1$ 
Trường hợp 1 : Xét $n=2x+1$ 
Suy ra $2n=3^x.(3^{n-2x}-1)=2.3^x$  vì vậy $n=2x+1=3^x$ 
Ta có $3^x=(1+2)^x=1+2x+2^2.C_x^2+..>2x+1$ do đó $x=0$ hoặc $x=1$ do đó $n=1$ hoặc $n=3$  
Trường hợp 2 : $n-2x>1$ thì $n-2x \ge 2$ và  $x \ne n-x-2$ suy ra $3^x \le 3^{n-x-2}$ 
Khi đó $2n=3^{n-x}-3^x \ge 3^{n-x-2}.(3^2-1)=8.3^{n-x-2} \ge 8.[1+2(n-x-2)]=16n-16k-24$ 
$\Leftrightarrow 8x+12 \ge 7n \ge 7(2k+2)$ (vô lí) 
Vậy $n \in \{0,1,3\}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 27-04-2016 - 20:22


#3
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Đặt $3^n+n^2=a^2$ (1) với $a$ là số nguyên dương . Dễ thấy $a \ne n$
Suy ra $(a-n)(n+a)=3^n$  (1)
Từ đó ta có  : $\begin{cases} &a-n=3^x&\\&a+n=3^y (2)& \end{cases}$ với $x,y$ là số nguyên dương và $x+y=n$  
Ta có $y>x$ từ (2) ta có $a=3^y-n$  thế vào (1) 
$3^n+n^2=9^y-2.n.3^y+n^2$ 
Suy ra $3^n=9^y-2.n.3^y$ suy ra $2y>n$
Suy ra $3^{2y}-3^n=3^{n}.(3^{2y-n}-1)=2n.3^y$ suy ra $n>y$ 
Suy ra $3^{n-y}.(3^{2y-n}-1)=2n$ 
Xét $n=y$ thì $3^n=2n+1$ 
Theo bất đẳng thức Bernouli  thì với $n \ge 2$  $(1+2)^n > 1+2n$  
Với $n=0,1$ thì thế vào đề bài thì thấy $n=1$ thỏa nên ta nhận 
Xét $n \ne y$ vì do $gcd(2,3^{n-y})=1$ suy ra $n=3^{k}$ ($k \ge n-y$)  
Từ đó suy ra $3^{2y-n}-1=2.3^{k+y-n}$ 
Nếu $k+y-n>0$ suy ra $3|3^{2y-n}-1$ (vô lí) do đó $k=n-y,3^{2y-n}-1=2 \Leftrightarrow 2y-n=1$ 
Suy ra $n=3^k=2k+1$ do đó $k=1$ suy ra $n=3$ 
Vậy $n \in \{1,3\}$ 

 Bạn giải thích rõ chỗ này được không, nếu $n$ có ước nguyên tố khác 3 thì sao?

 Lời giải của mình ( ra hồi trưa mà ngủ quên mất -_- )

 Ta có $3^m=(1+2)^m=1+\text{C}_m^1.2+...\geq 1+2m$ với mọi $m\in \mathbb{N}$

 Ta đặt $3^n+n^2=k^2$ thì $3^n=(k-n)(k+n)$, và do đó tồn tại $a,b\in \mathbb{N},\ a>b$ sao cho $k+n=3^a$ và $k-n=3^b$

 Từ đó suy ra $2n=3^a-3^b=3^b\left (3^{a-b}-1\right )$. Lại đặt $n=3^bt$ với $\gcd (t,3)=1$ thì $2t=3^{a-b}-1\Rightarrow 2t+1=3^{a-b}$

 Giờ ta sẽ chứng minh $a-b\geq t$. Thật vậy, ta có $n=3^bt=a+b$ nên $a-b=3^bt-2b$, ta cần chứng minh $3^bt-2b\geq t\Leftrightarrow 3^b\geq \dfrac{2b}{t}+1$

 Mặt khác $3^b\geq 2b+1\geq \dfrac{2b}{t}+1$ nên suy ra $a-b\geq t\Rightarrow 2t+1=3^{a-b}\geq {3^t}\geq 2t+1$

 Dấu "=" xảy ra khi $t=1$ và $\text{$b=0,\ a=1$ or $b=1,\ a=2$}$, từ đó tìm được $n=1$ hoặc $n=3$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 27-04-2016 - 19:35


#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

 Bạn giải thích rõ chỗ này được không, nếu $n$ có ước nguyên tố khác 3 thì sao?

 Lời giải của mình ( ra hồi trưa mà ngủ quên mất -_- )

 Ta có $3^m=(1+2)^m=1+\text{C}_m^1.2+...\geq 1+2m$ với mọi $m\in \mathbb{N}$

 Ta đặt $3^n+n^2=k^2$ thì $3^n=(k-n)(k+n)$, và do đó tồn tại $a,b\in \mathbb{N},\ a>b$ sao cho $k+n=3^a$ và $k-n=3^b$

 Từ đó suy ra $2n=3^a-3^b=3^b\left (3^{a-b}-1\right )$. Lại đặt $n=3^bt$ với $\gcd (t,3)=1$ thì $2t=3^{a-b}-1\Rightarrow 2t+1=3^{a-b}$

 Giờ ta sẽ chứng minh $a-b\geq t$. Thật vậy, ta có $n=3^bt=a+b$ nên $a-b=3^bt-2b$, ta cần chứng minh $3^bt-2b\geq t\Leftrightarrow 3^b\geq \dfrac{2b}{t}+1$

 Mặt khác $3^b\geq 2b+1\geq \dfrac{2b}{t}+1$ nên suy ra $a-b\geq t\Rightarrow 2t+1=3^{a-b}\geq {3^t}\geq 2t+1$

 Dấu "=" xảy ra khi $t=1$ và $\text{$b=0,\ a=1$ or $b=1,\ a=2$}$, từ đó tìm được $n=1$ hoặc $n=3$ 

Mình đã sửa



#5
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Mình đã sửa

 Bài này mình thử tổng quát lên là tìm $p$ nguyên tố và $n$ tự nhiên sao cho $p^n+n^2$ là số chính phương ( thực ra thì lúc đấu cho $p$ nguyên nhưng chia nhiều TH quá, mà đến ngõ cụt nên bỏ :P ), cách giả tương tự như cách trên của mình và cho ra nghiệm $(2,6)$ và $(3,1)$ và $(3,3)$ như trên :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 09-05-2016 - 18:42





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh