Chủ đề này có 1 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho các số thực x,y,z nằm trong [-2;2]. Chứng minh rằng:

$2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$

[NTA1907]

Cho các số thực x,y,z nằm trong [-2;2]. Chứng minh rằng:

$2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$

Đặt $x^{2}=a, y^{2}=b, z^{2}=c(0\leq a,b,c\leq 4)$

Ta cm: $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq 192$

Vì $0\leq a,b,c\leq 4$ nên ta có:

$(c-4)(b^{2}-16)\geq 0 \Leftrightarrow b^{2}c\geq 4b^{2}+16c-64$

Tương tự ta có:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+16(a+b+c)-192$

Ta cm: $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-16(a+b+c)\leq 0$

$\Leftrightarrow a(a+2)(a-4)+b(b+2)(b-4)+c(c+2)(c-4)\leq 0$(luôn đúng vì $0\leq a,b,c\leq 4$)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow (a,b,c)=(4;4;4) \Rightarrow (\left | x \right |;\left | y \right |;\left | z \right |)=(2;2;2)$