Ta định nghĩa $P_{n}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k}) = \sum_{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = n}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{k}^{a_{k}}$ là một đa thức đối xứng bậc $n$
Chứng minh hoặc phản chứng lại, nếu $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1}$ thì $P_{r}(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{k})\mid P_{t}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k})$
Chiều ngược lại có đúng không?
Chiều thuận sai. Đơn cử $k=2$ thì $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1} \Leftrightarrow r|t$. Lấy $r=2,t=4$
\[\begin{array}{l}
{P_r}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2\\
{P_t}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = x_1^4 + x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 + {x_1}x_2^3 + x_2^4 = {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + x_1^4 + x_2^4\\
\dfrac{{{P_t}\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}{{{P_r}\left( {{x_1},{x_2}} \right)}} = {x_1}{x_2} + \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}
\end{array}\]
Đặt $t=\frac{x_2}{x_1}$, ta có \[\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}} = x_1^2\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + t + 1}} = x_1^2\left( {{t^2} - t + \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}} \right) = x_2^2 - {x_2}{x_1} + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}\]
Vậy $\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}$ không là đa thức nên bài toán không thỏa mãn.
Chiều ngược lại có vẻ mơ hồ.