Chủ đề này có 2 trả lời

[Ego]

Ta định nghĩa $P_{n}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k}) = \sum_{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = n}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{k}^{a_{k}}$ là một đa thức đối xứng bậc $n$
Chứng minh hoặc phản chứng lại, nếu $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1}$ thì $P_{r}(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{k})\mid P_{t}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k})$
Chiều ngược lại có đúng không?

Nguồn

I own it

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 27-04-2016 - 18:44

[perfectstrong]

Ta định nghĩa $P_{n}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k}) = \sum_{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = n}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{k}^{a_{k}}$ là một đa thức đối xứng bậc $n$
Chứng minh hoặc phản chứng lại, nếu $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1}$ thì $P_{r}(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{k})\mid P_{t}(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k})$
Chiều ngược lại có đúng không?

Nguồn

I own it

Chiều thuận sai. Đơn cử $k=2$ thì $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1} \Leftrightarrow r|t$. Lấy $r=2,t=4$

\[\begin{array}{l}
{P_r}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2\\
{P_t}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = x_1^4 + x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 + {x_1}x_2^3 + x_2^4 = {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + x_1^4 + x_2^4\\
\dfrac{{{P_t}\left( {{x_1},{x_2}} \right)}}{{{P_r}\left( {{x_1},{x_2}} \right)}} = {x_1}{x_2} + \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}
\end{array}\]

Đặt $t=\frac{x_2}{x_1}$, ta có \[\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}} = x_1^2\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + t + 1}} = x_1^2\left( {{t^2} - t + \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}} \right) = x_2^2 - {x_2}{x_1} + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}\]

Vậy $\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2}}$ không là đa thức nên bài toán không thỏa mãn.

 

Chiều ngược lại có vẻ mơ hồ.

[Ego]

Chiều thuận sai. Đơn cử $k=2$ thì $\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1} \Leftrightarrow r|t$. Lấy $r=2,t=4$

Hình như chỗ này chưa đúng. Với $k = 2, r = 2, t = 4$ thì $\binom{k + r - 1}{k - 1} = \binom{3}{1} = 3$ và $\binom{k + t - 1}{k - 1} = \binom{5}{1} = 5$. Khi đó $3\nmid 5$. Em nghĩ cái này đúng hơn:
$\binom{k + r - 1}{k - 1}\mid \binom{k + t - 1}{k - 1} \Leftrightarrow r + 1|t + 1$
Bài này em vô tình phát hiện, ý phát biểu là nếu số số hạng của một đa thức đối xứng này chia hết cho số số hạng của một đa thức đối xứng kia thì đa thức này chia hết cho đa thức kia.