Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 28-04-2016 - 00:29


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

$<=>\frac{1}{x}+\frac{1}{ax}=\frac{1}{k}<=>\frac{a+1}{a}=\frac{x}{k}$ $(2)$

Do $(a+1,a)=1$ nên xảy ra 2 trường hợp:
Đặt $d=(x,k):$
$TH1: d=1<=>a+1=x$ và $a=k$ $<=>y=(x-1)x\vdots 2$

$<=>p\vdots 2<=>p=2=>$ Không tồn tại $x,y$

$TH2: d\geqslant 2<=>x=dn$ và $k=dt$ ( với $n,t$ nguyên dương và $(n,t)=1$)

$=>\frac{a+1}{a}=\frac{n}{t}<=>a=t$ và $a+1=n$ $<=>t=n-1$

$<=>x=dn$ và $k=d(n-1)$

$<=>y=ax=adn$

Thay vào $(1)$ suy ra $\frac{1}{dn}+\frac{1}{adn}=\frac{1}{d(n-1)}<=>a=n-1$

$=>y=x(n-1)=x(\frac{x}{d}-1)=\frac{x(x-d)}{d}$

Thay vào $(2)$ suy ra $k=\frac{x(n-1)}{n}$
mà $x=dn$ nên $k=x-d<=>x=d+k$

$=>y=\frac{xk}{d}$

Thay vào $p$ suy ra $p=\frac{(d+k)^3.\frac{xk}{d}}{x+\frac{xk}{d}}=(d+k)^2.k$

Suy ra $p$ không là số nguyên tố

Kết luận: Không tồn tại $x,y$ nguyên dương để $p$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-04-2016 - 21:26


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

 



#4
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

 

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

 

 

Nếu $\frac{x}{k}$ là số nguyên dương thì $y\vdots \frac{x}{k}$

 

$<=>y=\frac{bx}{k}$ $(b\in \mathbb{N^*})$

 

$=>\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{bx}{k}}$

 

$<=>x=\frac{k(k+b)}{b}=\frac{k^2}{b}+k$

 

mà $x$ nguyên dương nên $k^2\vdots b<=>k\vdots b$

 

$<=>y=\frac{bx}{k}=k+b$

 

Thay vào $p$ suy ra $p=\frac{(k+b)^3.\frac{k^3}{b^3}.(k+b)}{(k+b)(1+\frac{k}{b})}=\frac{(k+b)^2.k^3}{b^2}$

 

$<=>p=(\frac{k}{b}+1)^2.k^3$ $\in \mathbb{N^*}$ nên $p$ không là số nguyên tố


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-04-2016 - 11:06


#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Nếu $(x,k)=d\geqslant 2$ thì $y\vdots \frac{x}{k}$

 

 



#6
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$
 

Theo mình thì nó chỉ tương đương khi x + y  là số nguyên tố.



#7
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$

Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$

$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$

Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$

$TH1: n\mid pm$

Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$

Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)

Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$

$m=1=>d^3=2p$ (loại)

$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)

$TH2: m\mid pn$

Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$ 

$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$

$n=1=>d^3=2p$ (loại)

$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$

Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$



#8
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

 

Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$

Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$

$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$

Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$

$TH1: n\mid pm$

Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$

Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)

Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$

$m=1=>d^3=2p$ (loại)

$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)

$TH2: m\mid pn$

Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$ 

$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$

$n=1=>d^3=2p$ (loại)

$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$

Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$

Lời giải khác : 
Từ đề ta có $p|x^3y \Rightarrow p|x$ hoặc $p|y$ 
$p|y$ thì đặt $y=bp$ ta viết lại phương trình $x(bx^2-1)=bp$ vì $(bx^2-1,b)=1$ suy ra $x|b$ nên đặt $x=qb$  
Vì $x|bp$ suy ra $q|p$ suy ra $x=b$ hoặc $x=pb$ hay $xp=y$ hoặc $x=y$ 
Nếu $p|x$ thì đặt $x=ap$ ta đi viết lại phương trình $a^3yp^2=y+ap$ do đó $p|y$  ta chứng minh tương tự cũng được $xp=y$ hay $x=y$  
Xét $x=y$ thì $x^3=2p$ dễ thấy phương trình vô nghiệm nên loại 
$xp=y$ thế vào ta có $x^3=p+1$ do đó $(x-1)(x^2+x+1)=p$ suy ra $x=2$ dẫn đến $p=7$ và $y=14$ 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh