Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 28-04-2016 - 00:29
Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-04-2016 - 21:26
Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$
$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$
Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$
Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$
$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$
Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$
Nếu $\frac{x}{k}$ là số nguyên dương thì $y\vdots \frac{x}{k}$
$<=>y=\frac{bx}{k}$ $(b\in \mathbb{N^*})$
$=>\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{bx}{k}}$
$<=>x=\frac{k(k+b)}{b}=\frac{k^2}{b}+k$
mà $x$ nguyên dương nên $k^2\vdots b<=>k\vdots b$
$<=>y=\frac{bx}{k}=k+b$
Thay vào $p$ suy ra $p=\frac{(k+b)^3.\frac{k^3}{b^3}.(k+b)}{(k+b)(1+\frac{k}{b})}=\frac{(k+b)^2.k^3}{b^2}$
$<=>p=(\frac{k}{b}+1)^2.k^3$ $\in \mathbb{N^*}$ nên $p$ không là số nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-04-2016 - 11:06
Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$
$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$
Theo mình thì nó chỉ tương đương khi x + y là số nguyên tố.
Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$
Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$
Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$
$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$
Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$
$TH1: n\mid pm$
Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$
Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)
Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$
$m=1=>d^3=2p$ (loại)
$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)
$TH2: m\mid pn$
Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$
$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$
$n=1=>d^3=2p$ (loại)
$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$
Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$
Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$
Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$
Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$
$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$
Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$
$TH1: n\mid pm$
Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$
Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)
Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$
$m=1=>d^3=2p$ (loại)
$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)
$TH2: m\mid pn$
Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$
$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$
$n=1=>d^3=2p$ (loại)
$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$
Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$
Lời giải khác :
Từ đề ta có $p|x^3y \Rightarrow p|x$ hoặc $p|y$
$p|y$ thì đặt $y=bp$ ta viết lại phương trình $x(bx^2-1)=bp$ vì $(bx^2-1,b)=1$ suy ra $x|b$ nên đặt $x=qb$
Vì $x|bp$ suy ra $q|p$ suy ra $x=b$ hoặc $x=pb$ hay $xp=y$ hoặc $x=y$
Nếu $p|x$ thì đặt $x=ap$ ta đi viết lại phương trình $a^3yp^2=y+ap$ do đó $p|y$ ta chứng minh tương tự cũng được $xp=y$ hay $x=y$
Xét $x=y$ thì $x^3=2p$ dễ thấy phương trình vô nghiệm nên loại
$xp=y$ thế vào ta có $x^3=p+1$ do đó $(x-1)(x^2+x+1)=p$ suy ra $x=2$ dẫn đến $p=7$ và $y=14$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh