Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 27-04-2016 - 22:33

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 28-04-2016 - 00:29


#2 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 28-04-2016 - 21:25

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

$<=>\frac{1}{x}+\frac{1}{ax}=\frac{1}{k}<=>\frac{a+1}{a}=\frac{x}{k}$ $(2)$

Do $(a+1,a)=1$ nên xảy ra 2 trường hợp:
Đặt $d=(x,k):$
$TH1: d=1<=>a+1=x$ và $a=k$ $<=>y=(x-1)x\vdots 2$

$<=>p\vdots 2<=>p=2=>$ Không tồn tại $x,y$

$TH2: d\geqslant 2<=>x=dn$ và $k=dt$ ( với $n,t$ nguyên dương và $(n,t)=1$)

$=>\frac{a+1}{a}=\frac{n}{t}<=>a=t$ và $a+1=n$ $<=>t=n-1$

$<=>x=dn$ và $k=d(n-1)$

$<=>y=ax=adn$

Thay vào $(1)$ suy ra $\frac{1}{dn}+\frac{1}{adn}=\frac{1}{d(n-1)}<=>a=n-1$

$=>y=x(n-1)=x(\frac{x}{d}-1)=\frac{x(x-d)}{d}$

Thay vào $(2)$ suy ra $k=\frac{x(n-1)}{n}$
mà $x=dn$ nên $k=x-d<=>x=d+k$

$=>y=\frac{xk}{d}$

Thay vào $p$ suy ra $p=\frac{(d+k)^3.\frac{xk}{d}}{x+\frac{xk}{d}}=(d+k)^2.k$

Suy ra $p$ không là số nguyên tố

Kết luận: Không tồn tại $x,y$ nguyên dương để $p$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-04-2016 - 21:26


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-04-2016 - 08:06

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

 



#4 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 29-04-2016 - 11:01

 

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$

Ta đưa bài toán về tìm $k$ nguyên dương sao cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$
Giả sử $y> x$ $(y=x$ thì $p$ không là số nguyên tố$)$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

 

 

Nếu $\frac{x}{k}$ là số nguyên dương thì $y\vdots \frac{x}{k}$

 

$<=>y=\frac{bx}{k}$ $(b\in \mathbb{N^*})$

 

$=>\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{bx}{k}}$

 

$<=>x=\frac{k(k+b)}{b}=\frac{k^2}{b}+k$

 

mà $x$ nguyên dương nên $k^2\vdots b<=>k\vdots b$

 

$<=>y=\frac{bx}{k}=k+b$

 

Thay vào $p$ suy ra $p=\frac{(k+b)^3.\frac{k^3}{b^3}.(k+b)}{(k+b)(1+\frac{k}{b})}=\frac{(k+b)^2.k^3}{b^2}$

 

$<=>p=(\frac{k}{b}+1)^2.k^3$ $\in \mathbb{N^*}$ nên $p$ không là số nguyên tố


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-04-2016 - 11:06


#5 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-04-2016 - 11:03

Nếu $(x,k)=d\geqslant 2$ thì $y\vdots \frac{x}{k}$

 

 



#6 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-04-2016 - 11:31

Do $p$ là số nguyên tố$<=>x^3y\vdots x+y$ $<=>x^2y(x+y)-x^2y^2\vdots x+y$

$<=>x^2y^2\vdots x+y<=> xy \vdots x+y$
 

Theo mình thì nó chỉ tương đương khi x + y  là số nguyên tố.



#7 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 27-07-2016 - 17:03

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$

Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$

$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$

Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$

$TH1: n\mid pm$

Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$

Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)

Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$

$m=1=>d^3=2p$ (loại)

$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)

$TH2: m\mid pn$

Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$ 

$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$

$n=1=>d^3=2p$ (loại)

$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$

Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$



#8 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 07-09-2016 - 15:57

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

 

Chợt nhận ra bài làm mình sai đoạn $x+y \mid x^2y^2<=>x+y\mid xy$

Đặt $d=\gcd(x,y)$, khi đó tồn tại 2 số $m,n$ thỏa $\gcd(m,n)=1$ sao cho $x=dm$ và $y=dn$

$=>p=\frac{d^3m^3n}{m+n}=p<=>d^3m^3n=pm+pn$ $(*)$

Dễ thấy $n \mid pm$ và $m \mid pn$

$TH1: n\mid pm$

Ta có $\gcd(m.n)=1$ nên $n\mid p$ hoặc $p\mid n$

Nếu thì $n\mid p$ thì $n=1$ vì $n=p$ kéo theo $n\mid m$ (vô lí)

Thay vào $(*)$ suy ra $d^3m^3=pm+p$ kéo theo $m\mid p$

$m=1=>d^3=2p$ (loại)

$m=p=>d^3=\frac{p+1}{p^2}$ (vô nghiệm)

$TH2: m\mid pn$

Tương tự như trên ta suy ra được $m=1$ 

$(*)<=>d^3n=p+pn$ kéo theo $n\mid p$

$n=1=>d^3=2p$ (loại)

$n=p=>d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)=p$ kéo theo $d=2$ và $p=7$

Khi đó $(x,y,p)=(2,14,7)$

Lời giải khác : 
Từ đề ta có $p|x^3y \Rightarrow p|x$ hoặc $p|y$ 
$p|y$ thì đặt $y=bp$ ta viết lại phương trình $x(bx^2-1)=bp$ vì $(bx^2-1,b)=1$ suy ra $x|b$ nên đặt $x=qb$  
Vì $x|bp$ suy ra $q|p$ suy ra $x=b$ hoặc $x=pb$ hay $xp=y$ hoặc $x=y$ 
Nếu $p|x$ thì đặt $x=ap$ ta đi viết lại phương trình $a^3yp^2=y+ap$ do đó $p|y$  ta chứng minh tương tự cũng được $xp=y$ hay $x=y$  
Xét $x=y$ thì $x^3=2p$ dễ thấy phương trình vô nghiệm nên loại 
$xp=y$ thế vào ta có $x^3=p+1$ do đó $(x-1)(x^2+x+1)=p$ suy ra $x=2$ dẫn đến $p=7$ và $y=14$ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh