Chủ đề này có 3 trả lời

[chatditvit]

Cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ là số nguyên.CMR: a,b,c là các số chính phương

 

[Hoangtheson2611]

Đặt $[\sqrt{a}]=x;[\sqrt{b}]=y;[\sqrt{c}]=z$ (x;y;z nguyên ) ( Kí hiêu [x] là phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x) 

=>$x+y+z+3>\sum \sqrt{a}\geqslant x+y+z$

Do a;b;c nguyên nên căn bậc hai của a;b;c chỉ có thể là số nguyên hoặc số vô tỉ 

Nếu $\sum \sqrt{a} \neq x+y+z$ => trong các số căn bậc hai của a;b;c sẽ có ít nhất 1 số hữu tỉ => vô lý

=>  $\sum \sqrt{a}$ = x+y+z => $\sqrt{a}=x ; \sqrt{b}=y ; \sqrt{c}=z => a=x^{2};b=y^{2};c=z^{2}$

=> a;b;c là các số chính phương

[Minh Hieu Hoang]

 

Nếu $\sum \sqrt{a} \neq x+y+z$ => trong các số căn bậc hai của a;b;c sẽ có ít nhất 1 số hữu tỉ => vô lý

ko hiểu đoạn này

[O0NgocDuy0O]

Cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ là số nguyên.CMR: a,b,c là các số chính phương

Đặt: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=A(A\in \mathbb{N})\Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}=A^{2}+c-2A\sqrt{c}\Rightarrow 2(\sqrt{ab}+A\sqrt{c})=A^{2}-a-b+c\Rightarrow \sqrt{ab}+A\sqrt{c}=m(m\in \mathbb{N})\Rightarrow ab=m^{2}+A^{2}c-2Am\sqrt{c}\Rightarrow \sqrt{c}\in \mathbb{N}\Rightarrow$ $c$ là số chính phương.

Tương tự, ta có ĐPCM.