$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$
#1
Đã gửi 28-04-2016 - 13:49
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$
#2
Đã gửi 29-04-2016 - 18:59
Cho các số thực $a,b,c$.
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$
Ta có:
$$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2(a-b)^2}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{3}{2}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\geq 2$$
Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x,\frac{b+c}{b-c}=y,\frac{c+a}{c-a}=z$ thì BĐT cần CM tương đương với:
$$x^2+y^2+z^2\geq 2$$
Mà ta dễ dàng CM được:
$$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$$
$$\Rightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1$$
$$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$$
Do đó:
$$x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$$
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-04-2016 - 19:00
- PlanBbyFESN, royal1534, tquangmh và 2 người khác yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 19-04-2021 - 18:54
Bài này ứng dụng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức đẹp sau: $\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}\geqslant \frac{9}{4}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh