Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)$

bdt_03

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngothithuynhan100620

ngothithuynhan100620

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

Cho các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca\le 3abc$

Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)$


                                                                                                                                                                   Lấy bất biến ứng vạn biến

                                                                                                                                                                               ED05DCDD2A7559524BE5222A4F48EFE5.png      


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $\sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)=\sqrt{2}(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}+\frac{2ca}{c+a}})\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}$

Cần chứng minh: $\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}\geqslant 3$

Bất đẳng thức cuối là quen thuộc với giả thiết: $ab+bc+ca\leqslant 3abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 07:18

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_03

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh