Cho các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca\le 3abc$
Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)$
Cho các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca\le 3abc$
Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)$
Lấy bất biến ứng vạn biến
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $\sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)=\sqrt{2}(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}+\frac{2ca}{c+a}})\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}$
Cần chứng minh: $\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}\geqslant 3$
Bất đẳng thức cuối là quen thuộc với giả thiết: $ab+bc+ca\leqslant 3abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 07:18
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh