Chủ đề này có 8 trả lời

[baopbc]

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O).M$ là trung điểm $BC. I$ là điểm chính giữa cung $BC$chứa $A. \odot (I;IM)$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $\odot (AEF)$ tại $D$.

Chứng minh rằng $\odot (BDC)$ tiếp xúc $\odot (AEF)$.

Hình vẽ bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 20:33

[nguyenthib1602]

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O).M$ là trung điểm $BC. I$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A. \odot (I;IM)$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $\odot (AEF)$ tại $D$.

Chứng minh rằng $\odot (BDC)$ tiếp xúc $\odot (AEF)$.

Post 83.png

Hình vẽ bài toán

Trên hình là có chứa mà bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 20:34

[Nguyen Dinh Hoang]

Mình xin được giải bài toán vậy! Bài này thú vị!
$AI$ cắt $BC$ tại $Z$. Gọi $X$ là giao của $AD$ và $BC$ ta có $(ZX,BC) = -1$, Áp dụng $Maclaurin$ ta có $ZB.ZC= ZX.ZM = ZA.ZI$
Lại có $I$ là tâm ngoại tiếp của $\odot (BDC)$ (có thể chứng minh $ID = IB$) nên nếu gọi $AD$ cắt $(O)$ tại $G$ thì $G$ là giao của $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $\odot (BDC)$ nên $DA$ là đối trung của $\odot (BDC)$ vậy nếu gọi $Z_1$ là giao của tiếp tuyến tại $D$ của $\odot (BDC)$ với $BC$ thì $(Z_1X,BC) = -1$ nên $Z\equiv Z_1$.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 23:19

[baopbc]

Mình xin được giải bài toán vậy! Bài này thú vị!
$AI$ cắt $BC$ tại $Z$. Gọi $X$ là giao của $AD$ và $BC$ ta có $(ZX,BC) = -1$, Áp dụng $Maclaurin$ ta có $ZB.ZC= ZX.ZM = ZA.ZI$
Lại có $I$ là tâm ngoại tiếp của $\odot (BDC)$ (có thể chứng minh $ID = IB$) nên nếu gọi $AD$ cắt $(O)$ tại $G$ thì $G$ là giao của $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $\odot (BDC)$ nên $DA$ là đối trung của $\odot (BDC)$ vậy nếu gọi $Z_1$ là giao của tiếp tuyến tại $D$ của $\odot (BDC)$ với $BC$ thì $(Z_1X,BC) = -1$ nên $Z\equiv Z_1$.

Ta có điều phải chứng minh.

Ngoài lời giải của Hoàng, bài này còn có một lời giải khác thuần túy hơn! Sử dụng kĩ thuật điểm trùng ta suy ra $\triangle IFB=\triangle IFC$

Từ đây suy ra $\triangle IDM=\triangle IFB=\triangle IFC\Rightarrow FMDB,EMDC$ là các hình thang cân nên ta suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải đầy đủ khá dài!

[Nguyen Dinh Hoang]

Bảo tìm ra bài này hay, ngoài ra còn có $\odot (XMD)$ cũng tiếp xúc với các đương tròn đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 23:33

[baopbc]

Bảo tìm ra bài này hay, ngoài ra còn có $\odot (XMD)$ cũng tiếp xúc với các đương tròn đó

Cảm ơn Hoàng đã đóng góp một ý tưởng rất hay! Mình tạo ra bài này một cách tình cờ và chưa nghĩ đến trường hợp này! Kiểm tra lại bằng máy thì thấy đúng!

[lucifer97]

Bài toán này thực sự thú vị. Ta có thể mở rộng hơn nữa như sau:

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O), A$ di động trên $(O). I$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Lấy $F$ trên cạnh $AB, E$ trên cạnh $AC$ sao cho $IE=IF=d=const$. Khi đó $(AEF)$ tiếp xúc với 1 đường tròn không đổi có tâm $I$. 

Nếu gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $IM=d$, ta thu được bài toán trên

 

Bài toán tổng quát có lời giải khá gọn như sau:

Dễ c/m $AIEF$ nội tiếp, suy ra 2 góc $BAC$ và $EIF$ bằng nhau và không đổi

Gọi $D$ là giao của phân giác góc $BAC$ và $(AEF)$ thì $ID$ là đường kính của $(AEF)$. Ta cần chứng minh $ID=const$

Thật vậy $ID=EF/sinEIF$

$EF$ là dây cung của $ (I,d)$ và có góc $EIF$ không đổi nên $EF$ không đồi, Từ đây ta thu được dpcm

 

Khi trung điểm $M$ của $BC$ nằm trên $(I,d)$ thì ta cũng dễ thấy $ID=IB=IC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucifer97: 30-04-2016 - 20:11

[quanghung86]

Có cách nào che đi được điểm $D$ thì bài toán sẽ rất thú vị ?

[quanghung86]

Bài này của Bảo có thể viết lại như sau sẽ rất đẹp

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trung tuyến $AM$. $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường tròn $(S,SM)$ cắt đoạn $CA,AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng đường tròn $(S)$ đi qua $B,C$ tiếp xúc $(AEF)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 02-05-2016 - 00:19
Nhầm ý tưởng